Résolution d'une équation différentielle

[invitea105e18a]

Bonjour,

Je dois résoudre l'exercice suivant:

Trouver toutes les fonctions f de classe C² sur IR vérifiant

f "(x)+a²f(-x)=x

Je suis un peu bloquée...pour essayer d'avancer un peu j'ai envisagé les cas f paire et f impaire...ça revient bien à résoudre respectivement les équations y"+a²y=x et y"-a²y=x, non ?

Mais pour le reste...j'aurais besoin d'une petite aide s'il vous plaît .

Merci d'avance !
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[Seirios]

Bonjour,

Comme pour les équations différentielles ordinaires, tu peux montrer que toute solution de l'équation s'écrit comme la somme d'une solution de l'équation sans second membre et d'une solution particulière fixée. Une fois trouvée une solution particulière (indice : cherche une solution polynomiale), tu te ramènes donc à étudier l'équation .

Déjà, est solution. Une première étape pourrait être de chercher les solutions analytiques (ie. s'écrivant comme une série entière) ; on peut d'ailleurs montrer que toute solution est de classe .

[Seirios]

Une autre solution de l'équation sans second membre est . Par conséquent, les solutions analytiques sont de la forme .

[Seirios]

Finalement, une méthode simple pour résoudre l'exercice :

1) Trouver une solution particulière de l'équation . Indice : Chercher une solution polynomiale.
2) Montrer que toute solution de l'équation s'écrit sous la forme où est une solution de .
3) Montrer que toute fonction peut s'écrire (de manière unique) comme la somme d'une fonction paire et d'une fonction impaire.
4) Montrer que si (resp. ) est une fonction paire (resp. impaire), alors est solution de ssi et sont également des solutions.
5) Trouver les solutions paires et impaires de .
6) Conclure.

[A voir en vidéo sur Futura]