Bonjour
Ci joint le sujet d'un exo
OrdreModulo1.jpg
OrdreModulo2.jpg
déjà je ne comprends pas la notation de l'ensemble E
Est ce que les éléments de E sont a^n =1(p) ou bien tout: a^n =1(p); n ; p ?
On définit toujours un ensemble avec les éléments de même nature, je pense ?
par exemple, pour une fonction f et sa variable x, on a deux ensembles, celui des x (antécédents) et celui des images f(x).
Merci pour vos commentaires.
Ce sont les entiers non nuls n tels que a^n=1 [p].Envoyé par kaderben
La barre après N* se lit "tels que"
Pour toute question, il y a une réponse simple, évidente, et fausse.
Bonjour,
D'une façon générale, en prenant le mot "nature" dans un sens commun à la majorité des mathématicien, non ! C'est même un reproche que certains font à la théorie des ensembles, si A = {1, 2, 3} et B = {(1, 2, 3)}, A U B = {1, 2, 3, (1, 2 , 3)}, et ce n'est pas gênant que 3 éléments soient des ordinaux et le quatrième, un triplet d'ordinaux, on peut sans problème faire l'union d'un ensemble de fonctions continues suret de
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Merci pour les réponses.
C'est la première fois que je vois ça dans un livre de terminale S.
Si j'ai bien compris, a et p sont fixés et n est la variable
Et si j'explicite un peu l'ensemble E, j'écris: E={n1;n2;n3;...} de façon que les ni ne divisent pas a.
Je rectifie:
a et p sont fixés et n est la variable et p ne divise pas a
Et si j'explicite un peu l'ensemble E, j'écris: E={n1;n2;n3;...}
Oui.
écrit plus clairement :Et si j'explicite un peu l'ensemble E, j'écris: E={n1;n2;n3;...}
Et si j'explicite un peu l'ensemble E, j'écris: E={n1;n2;n3;...}
En mode réponse ou réponse rapide+mode avancé tu as les indices avec le X2.
Cordialement.
Oui, je fais un essai: n1
ça marche.
1°) 1 dans E, 2 dans E et 2 ne divise pas 1:
1^n =1(2) , donc E n'est pas vide (= pour congru)
2°) h est le plus petit élément de E, donc a^h=1(p) et p ne divise pas a
Si h divise n alors existe k entier tel que n=hk
a^h=1(p), en élevant à la puissance k on obtient (a^h)^k=1^k(p)
soit a^(hk)=1(p)
Si c'est correct je peux conclure que h divise n, sinon je ne sais pas.
Je ne comprends pas ce que tu fais. Où sont passés a et p ?
Pour la première question: a=1 et p=2. Je pense que cela suffit pour conclure que E n'est pas vide
Pour la deuxième question: a et p dans le cas général, à moins que je n'ai pas comppris !
Sauf qu'on ne peut pas choisir p ni a. La question doit se lire "montrer que pour tout p premier et tout a ni divisant pas p, ...", et qu'un élément de E est un "n"... Quel n marche pour tout p et tout a?
Dernière modification par Amanuensis ; 14/06/2013 à 20h05.
Pour toute question, il y a une réponse simple, évidente, et fausse.
C'est le début de l'énoncé. Tu ne peux pas les choisir, pire, tu ne les connais pas. Donc il n'y a aucune raison que ce soient 2 et 1.Soit p un nombre premier et a un entier non divisible par p
En fait, on devrait indicer E pour dire qu'il est défini par p et a : Ep,a ={n,...} ou utiliser une notation fonctionnelle E(n,a). Pour chaque entier premier p, et pour chaque entier a non divisible par p, il y a un ensemble E.
Cordialement.
Bonjour
Maintenant j'ai bien compris la définition de l'ensemble E à partir de vos réponses complémentaires.
Au fait il y a probablement une infinité d'ensemble E
A chaque couple (a,p) donné et le parametre n variable, on associe un ensemble E d'éléménts n pourvu que n vérifie a^n=1(p)
Je me comprends.
Pour la première question j'ai pris plusieurs exemples et en voici deux
7^n=1(11)
pour n=10 la congruence est vérifiée. 10=11-1
4^n=1(7)
pour n= 3 et n=6 la congruence est vérifiée. 6=7-1
On remarque que au moins pour n=p-1, la congruence est vérifiée.
Ce n'est q'une petite conjecture mais je ne sais pas si c'est une piste.
Merci
Bonjour.
"Je me comprends." : Aveu de manque de compréhension : "ce qui se conçoit bien s'énonce clairement" (Nicolas Boileau).
"Ce n'est qu'une petite conjecture mais je ne sais pas si c'est une piste."
C'est toi qui fais l'exercice, à toi de chercher si c'est une "piste", ou plutôt si c'est vrai. Donc d'essayer de le démontrer. On ne va pas faire le travail à ta place, non ?
Cordialement.
"Je me comprends." c'est pour dire que peut être je ne suis pas aussi clair comme vous les professeurs de mathématique.
Si c'est un "Aveu de manque de compréhension " qu'est ce que tu veux que j'y fasse, je dis la
Je me suis planté, je recommence
"Je me comprends." c'est pour dire que peut être je ne suis pas aussi clair comme vous les professeurs de mathématique.
Si c'est un "Aveu de manque de compréhension " qu'est ce que tu veux que j'y fasse, je dis la vérité.
D'après ta réponse, ce n'est pas encore bien clair cette histoire de l'ensemble E !
Je n'attends pas vos résultats tous faits, il faut que j'essye de le faire moi même, comme d'habitude c'est la moindre des choses.
Le problème, avant d'envoyer le message, j'ai fait le tour de la question mais je n'ai rien obtenu de valable à mon sens.
Je me pose une question : Connais-tu le théorème de Fermat (dit aussi "petit" théorème de Fermat) ? Car ton exercice en est une application. Tu n'as pas ça dans tes cours ?
C'est bien reformulé.
Il se trouve que c'est correct, mais le traitement des exemples est insuffisant. Comment avez-vous vérifié que 7^10 = 1 [11]? C'est exact, 7^10 = 282475249 = 25679568 x 11 +1. L'avez-vous vérifié ainsi, ou par un autre moyen?Pour la première question j'ai pris plusieurs exemples et en voici deux
7^n=1(11)
pour n=10 la congruence est vérifiée. 10=11-1
4^n=1(7)
pour n= 3 et n=6 la congruence est vérifiée. 6=7-1
On remarque que au moins pour n=p-1, la congruence est vérifiée.
Dernière modification par Amanuensis ; 17/06/2013 à 08h44.
Pour toute question, il y a une réponse simple, évidente, et fausse.
Bonjour
Le traitement des exemples, m'a permis de remarquer que pour n=p-1, la congruence est vérifiée, d'ou j'ai conjecturé n= p-1 ,
bien sçur c'est insuffisant.
pour 7^10:
j'ai tout simplement déterminé les restes de 7^n par 11, qui sont périodiques. Bien sûr j'ai utilisé la calculette qui fait le mod(7^n;11)
en faisant varier n de 1 à n' qui finit la période des restes.
Bonjour ggO
Et oui, le petit th de fermat je le connais sous ses deux formes :
a^p-a=0(p), a^(p-1)-1=0(p)
Je n’y avais pas réfléchi et j’allais l’oublier complètement !
Avant de reprendre l’exercice, j’ai besoin de montrer quelque chose :
a^n=1(p)
soit m un entier:
Si dans un calcul on obtient: a^n*a^m=1(p)
Réciproquement, si a^n*a^m=1(p), peut on conclure que a^m=1(p)
J’ai essayé mais je n’arrive pas, et je ne vois aucune piste
Merci.
Si k=u modulo p et l=v modulo p, combien vaut kl modulo p ?
Si k=u modulo p et l=v modulo p alors kl = uv modulo p d'après le produit des congruences de même modulo
Et en particulier si k=1 (p), kl= ?
Comme quoi, en y réfléchissant un peu, tu pouvais répondre toi-même à ta question.
C'est que j'avais réfléchi pas mal mais la réponse n'était pas au rendez vous!
Maintenant je vais reprendre l'exercice.
Bonjour
1°) a^n=1(p)
D’après le th de fermat: a^(p-1)=1(p), p-1>=1 (p={2,3,5…}) donc p-1 est un élément de E, d’ou’ E n’est pas vide
2°) h plus petit élément de E, donc a^h=1(p). n élément de E
Supposons que h ne divise pas n
Donc il existe un entier q tel que : n=hq+r, 0<r<h
Alors a^(hq+r)=1(p), soit (a^h)^q*a^r =1(p)
Mais a^h=1(p) car h élément de E et (a^h)^q=1(p)
Donc a^r =1(p), c’est à dire r élément de E
r<h et h plus petit élément de E, donc contradiction avec l’hypothèse de départ
On conclut que h divise n
3°) D’après le th de fermat a^(p-1)=1(p) et h divise n donc h divise p-1
4°)Application
D’après le th de fermat: 2^(13-1)=1(13)
2^12=1(13)
h divise 12, donc h est un diviseur de 12
Il y a que 2^12=1(13).
L’ordre de 2 modulo 13 est 12
Etc…
Est ce que ça peut aller ?
Merci
