Nature d'une série

**yootenhaiem** · 15/06/2013, 16h40

Bonjour F.S.,

Je suis actuellement sur un exo que je n'arrive pas à résoudre.

Trouver la nature de la série de terme général: $\text{[math]}$ où $\text{[math]}$ est un réel.

Pour un alpha strictement supérieur à 1, le résultat est évident, mais je bloque sur les autres cas. De premier abord, j'ai pensé à une comparaison série intégrale mais je ne vois pas comment le faire vu que la somme est au dénominateur.

Merci de m'indiquer une voie de réflexion.

**martini_bird** · 15/06/2013, 17h18

Salut,

un encadrement par deux intégrales de la somme au dénominateur en fournit un équivalent. Le critère de Riemann permet de conclure.

Cordialement.

**Elie520** · 15/06/2013, 18h59

Je ne comprends pas pourquoi c'est "évident lorsque alpha > 1". Ou alors c'est tout le temps évident non ?

Si Alpha <-1, Là, il ne devrait pas y avoir de problème.
Si Alpha $\text{[math]}$ -1, cherchez un équivalent à $\text{[math]}$ (trois cas à distinguer) pour conclure.

**yootenhaiem** · 16/06/2013, 17h05

Bonjour,

Si alpha est supérieur à 1, alors le terme général sera inférieur à $\text{[math]}$ qui converge car de Riemann.

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**Arytrask** · 16/06/2013, 17h59

Envoyé par Elie520

Je ne comprends pas pourquoi c'est "évident lorsque alpha > 1". Ou alors c'est tout le temps évident non ?

En fait c'est évident pour $\text{[math]}$ (strictement) positif, puisqu'alors la fonction $\text{[math]}$ est (strictement) croissante et positive, donc la série de terme général $\text{[math]}$ diverge vers $\text{[math]}$ et on conclut rapidement.

Pour $\text{[math]}$ strictement négatif, une équivalence par les intégrales de Riemann est possible (par je ne sais plus quel théorème) et après quelques distinctions de cas on doit pouvoir conclure assez rapidement.

**yootenhaiem** · 16/06/2013, 18h59

Envoyé par Arytrask

En fait c'est évident pour $\text{[math]}$ (strictement) positif, puisqu'alors la fonction $\text{[math]}$ est (strictement) croissante et positive, donc la série de terme général $\text{[math]}$ diverge vers $\text{[math]}$ et on conclut rapidement.

Je ne comprend pas cette ligne!
Pour alpha négatif il est vrai que c'est par la comparaison série intégrale mais je ne l'ai pas encore essayé.

**Arytrask** · 16/06/2013, 19h38

Je ne pense pas pouvoir être plus clair sans donner directement la réponse à votre problème. Pouvez-vous précisez ce que vous ne comprenez pas afin que l'on puisse vous éclairez ?

**Elie520** · 17/06/2013, 09h20

C'est normal que vous ne compreniez pas, car l'argument utilisé est faux.
Par exemple, la série de terme général n^(-1/2) diverge en plus l'infini et pourtant la conclusion n'est pas la meme que pour alpha = 1 par exemple.

Je reviens à ce que j'ai dit, avez-vous essayé de suivre mon conseil ?

Si vous trouvez ca "évident" pour alpha>1, vous devriez trouver ca "évident" pour alpha<-1.

Maintenant, de manière générale, si vous connaissez la comparaison série intégrale et les sommes de Riemann, vous devriez savoir trouver un équivalent de la serie de terme général n^(alpha) pour tout alpha >=-1. Ensuite, vous pourrez conclure en utilisant à nouveau les criteres que vous connaissez. (somme des n^(alpha) converge si et seulement si alpha < -1).

Enfin, si je peux donner un conseil pour nous puissions nous comprendre, au lieu de dire "c'est évident", il est plus instructif de conclure explicitement. En effet, tout le monde n'a pas le meme sens de "évident" et certaines personnes croient parfois évidentes des choses fausses.

Cordialement.

**Arytrask** · 17/06/2013, 09h48

Envoyé par Arytrask

En fait c'est évident pour $\text{[math]}$ (strictement) positif, puisqu'alors la fonction $\text{[math]}$ est [...]

Envoyé par Elie520

C'est normal que vous ne compreniez pas, car l'argument utilisé est faux.
Par exemple, la série de terme général n^(-1/2) diverge en plus l'infini et pourtant la conclusion n'est pas la meme que pour alpha = 1 par exemple.

Il me semble pourtant que $\text{[math]}$ n'est pas positif

.
Votre contre-exemple n'en est pas un et après revérification (au cas où ...) je confirme mes arguments.

**Elie520** · 17/06/2013, 09h54

Vous ne m'avez pas bien compris ^^

Le résultat est juste : pour alpha strictement positif, la série des Vn converge. Ca ok, je n'ai rien à redire. Cependant, vous dites : "la somme des n^alpha diverge (car c'est croissant) DONC on peut conclure".

Et la je vous dis non :

Que la somme diverge ne vous apporte RIEN. Il faut une information supplémentaire (vitesse de divergence). C'est donc normal qu'il n'ait pas compris votre message.

Je confirme donc ce que je disais

**gg0** · 17/06/2013, 09h56

T'es bien gentil, Arytrask,

mais si tu produisais une preuve à la place d'arguments qu'on ne peut pas vérifier, ce serait sérieux. Si l'exemple d'Elie n'est pas un contre exemple à ton argument, c'est qu'il est incomplet, puisque la seule chose affirmée était que " la série de terme général $n^{\alpha}$ diverge vers $+\infty$ " Le fait que $\text{[math]}$ soit positif n'intervenait pas dans l'argument même si tu y as pensé (ce n'est pas nécessaire pour que la série diverge).

Donc, ce que tu as dit, personne n'y croit ! Puisque ce n'est pas une preuve.
C'est toi qui as proposé ça, à toi d'en faire une preuve, une vraie. Par exemple en développant le "on conclut rapidement" dont je ne vois pas ce qu'il peut vouloir dire.

Cordialement.

Rappel : les maths ne sont pas une question d'opinion.

**Arytrask** · 17/06/2013, 10h35

Envoyé par yootenhaiem

Trouver la nature de la série de terme général: $\text{[math]}$ où $\text{[math]}$ est un réel.

Si $\text{[math]}$ alors la fonction $\text{[math]}$ définie sur les réels positifs par $\text{[math]}$ pour $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ est strictement croissante et positive et il en est donc de même pour la suite associée (i.e. la suite $\text{[math]}$ définie par $\text{[math]}$ ). Ainsi, la série $\text{[math]}$ diverge vers $\text{[math]}$ ce qui signifie que la suite $\text{[math]}$ des sommes partielles associées diverge de même vers $\text{[math]}$ donc que $\text{[math]}$ converge vers $\text{[math]}$ .

Pour $\text{[math]}$ il suffit d'étudier la série $\text{[math]}$ comme indiqué précédemment, puis de conclure par passage au quotient.

Enfin pour $\text{[math]}$ on a une somme infinie de $\text{[math]}$ au dénominateur et un facteur constant non nul au numérateur, la conclusion est donc évidente.

Je ne vois pas où est le problème.

**Elie520** · 17/06/2013, 10h38

U_n tend vers zéro... et alors? Vous n'avez pas bien lu la consigne je crois.

De manière générale, je ne crois pas que vous compreniez ce que vous faites... tout simplement.

"Pour alpha <0, il suffit d'étudier la somme [...]" autrement dit "pour alpha négatif, il suffit de résoudre l'exercice. Puis pour alpha positif aussi. Donc l'exercice est résolu".

Vous ne faites pas des mathématiques, du moins pas sur ce topic.

**Arytrask** · 17/06/2013, 10h47

Nom d'un petit bonhomme je viens de voir ma méprise... je voyais simplement la limite de la suite $\text{[math]}$ (ce que j'ai résolu du coup mais on s'en fou...) et non celle de la somme associée.
Mes plus sincères excuses

P.S. : Quoi que les cas où la suite ne converge pas donne une parti de la réponse, m'enfin...

**Elie520** · 17/06/2013, 10h55

Ceci explique cela.

Nature d'une série