Théorème de Shannon - hypothèses initiales ?

[invite39e2954c]

Bonjour,

Dans mes notes de cours, il y a deux définitions du théorème d'échantillonnage de Shannon. Je cite :

Théorème d'échantillonnage de Shannon :

Le théorème d’échantillonnage de Shannon est un résultat fondamental de la théorie du signal. Il
exprime qu’un signal limité en fréquence est entièrement déterminé à partir d’un échantillonnage
de ce signal correspondant à deux échantillons par période (dans le langage de l’analyse du signal:
échantillonnage deux fois par cycle de la plus haute fréquence). (Dans les notations ci-dessous: période ; pas d’échantillonnage = : la fonction est évaluée deux fois par période.)
[...]
Théorème d'échantillonnage de Shannon :
Soir ν un réel strictement positif.
Si f est une fonction définie sur R, continue sur R, appartenant à L2(R) et dont le support de la
transformée de Fourier (négative) est inclus dans [−ν, ν], alors, dans L2(R), on a


Alors je ne comprend pas comment se situe la deuxième définition par rapport à la première. Je ne comprend pas ce que ça veut dire que le support de la fonction soit inclus dans un intervalle.
La prof m'avait interrogée ce qu'étaient les hypothèses initiales pour le théorème de Shannon et en me basant sur ces notes je n'ai pas su y répondre.

J'ai l'impression de réellement passer à coté et les recherches sur les sites mènent toujours à des définitions très techniques.
Est-ce que quelque peut m'éclairer ?
Merci d'avance.
-----

[Bruno]

Bonjour,

Il n'y a rien d'étonnant à ce que tu ne comprennes rien à des définitions qui passent à coté de l'essentiel. Le coup de la fonction à support compact, c'est juste pour dire qu'elle est nulle en dehors d'un intervalle (fini), càd que qu'il existe une fréquence maximale f_max au-delà de laquelle le spectre du signal est nul. Le théorème de Shannon dit alors qu'on peut reconstruire totalement ce signal en ne gardant que certains échantillons à condition de l'échantilloner à au moins le double de f_max. La formule de reconstruction est donnée par ta deuxième définition: f(m*pi/v) est le m-ème échantillon qu'on multiplie par un sinus cardinal décalé de m*pi.

La démonstration s'appuie sur le fait qu'échantilloner un signal revient à "périodiser" sa transformée de Fourier. Par périodiser, j'entends sommer une infinité de copies du spectre déplacées à un multiple de la fréquence d'échantillonage. On remarque alors graphiquement qu'il n'y a pas de chevauchement si la fréquence d'échantillonage est au moins supérieure à la "largeur" du spectre, càd au double de la fréquence max (puisque le spectre est symétrique, centré en 0).

Donc la base c'est d'avoir un signal dont le spectre est fini, autrement on aura (presque) toujours chevauchement.

[invite39e2954c]

D'accord. Ça commence à prendre sens car c'est plus physique. Le cours concerné est purement mathématique. Et j'avoue que je ne connais rien en théorie du signal (il ne fait pas partie du cours). La démonstration dont tu parles aussi, je l'avais mais en termes de simples calculs.
Sinon, v dans la formule on le prend tel que est la fréquence max de la fonction f ?
Et comment se fait-il que la transformée de Fourier soit nulle ailleurs que dans [-v, v] (ce dont en a besoin) ? Ou alors on prend justement les bornes de la transformée de Fourier ? Dans ce cas est-ce qu'elles coïncident toujours avec la fréquence maximale de la fonction initiale f ?

[GrisBleu]

Salut
Par définition, la TF d'une fonction est sa représentation fréquentielle. Donc si la TF est nulle au dela de fmax, alors ta fonction reelle a un support fréquentiel dans [-fmax,fmax]
++

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite39e2954c]

Bonjour,

Merci pour vos explications. J'ai une autre question qui sort du titre mais qui ne mérite pas un topic particulier (je pense).
Lorsqu'on développe une fonction continue, prenons f(x) = x, en série trigonométrique de Fourier dans . On observe les phénomène de Gibbs en les points 0, 1. Notamment la valeur de la fonction approchée pas la série trigonométrique en ces points est calculée de manière à ce que 0 et 1 sont considérées comme points de discontinuité de f *. Est-ce qu'il n'y a pas de contradiction ? f est continu ou pas en 0 et 1 ?
*
, étant l'expression de la série à l'ordre M.

[Bruno]

Si f est continue sur [0,1], il n'en est pas nécessairement de même pour la périodisée f* de f (obtenue en copiant/collant f à gauche et à droite). Ne pas oublier que les séries de Fourier concernent des fonctions périodiques pas nécessairement continues, mais que les coefficients de Fourier sont calculés sur une seule période (où la fonction peut être continue comme dans ton exemple).

[invite39e2954c]

Si f est continue sur [0,1], il n'en est pas nécessairement de même pour la périodisée f* de f (obtenue en copiant/collant f à gauche et à droite). Ne pas oublier que les séries de Fourier concernent des fonctions périodiques pas nécessairement continues, mais que les coefficients de Fourier sont calculés sur une seule période (où la fonction peut être continue comme dans ton exemple).

Si ce n'est pas nécessaire, alors il peut arriver que la périodisée de f soit continue sur les bornes et que le phénomène de Gibbs ne survienne pas ?

[Bruno]

Oui, pas de phénomène de Gibbs sans discontinuité.

[gg0]

LeoMercury,

Considère la fonction définie par Sa série de Fourier est évidente : (*)
Pas de phénomène de Gibbs, car on obtient la fonction elle même dès que n=1, et les sommes partielles sont alors toutes égales.

Cordialement.

(*) série dont tous les coefficients sont nuls sauf b₁.

[invite39e2954c]

D'accord, je vais faire le calcul de main pour bien voir la réponse.
Mais avant : est-ce-qu'on peut parler de développement en série trigonométrique de Fourier sans parler d'espace borné dans ?
Pour la fonction f(x) = x, le développement en SF dans est :



Oú est-ce qu'on voir que 0 et 1 sont des points de discontinuité ?

[gg0]

Si f est définie sur [0;1], elle y est continue. Il n'y a pas de discontinuité. Cependant, la série ne converge pas pour ces valeurs vers f(x) (f(0) et f(1) respectivement). Bruno t'a expliqué pourquoi on parle de discontinuité : La fonction somme de la série de Fourier est une fonction définie sur , périodique et de période 1, qui coïncide avec f sur ]0;1[. C'est la série de Fourier de la fonction f*, définie sur , périodique et de période 1, et qui vaut f*(x)=x pour x dans [0;1[ (la périodisée de f - qui déjà ne peut pas coïncider avec f). C'est f* qui est discontinue.

Cordialement.

[invite39e2954c]

Bonjour,
Je ne comprend toujours pas : si on me donne une fonction à développer en série trigonométrique de Fourier dans ou même l'expression de la somme partielle, comment savoir s'il y a discontinuité sur les bords de [a, b].
J'ai l'impression de tourner en rond... =/

[gg0]

Bonjour.

Je ne comprends pas trop où est ton problème. N'as-tu pas des théorèmes de cours sur les questions que tu te poses ?
Si f est définie et continue sur [a;b] (*), et que f(a)=f(b), alors f est égale à sa série de Fourier sur [a;b]. Si f(a) n'est pas égal à f(b), la série de Fourier prend la valeur (f(a)+f(b))/2 en a et b.

Cordialement.

(*) y compris à droite en a et à gauche en b.

[invite39e2954c]

Bonjour,
C'est vrai finalement, ce n'est pas dit explicitement, mais je crois qu'on peut déduire ça d'un théorème (les conditions de Dirichlet si je ne me trompe pas). Cependant, il y a un autre théorème qui dit que : si la fonction est continue sur le fermé borné ou on la développe en série TF, et si la série de ses coefficients est strictement convergente, alors elle est égale à son "approximation par la série" en tout point; Après je ne sais pas vraiment comment on fait pour vérifier que "la série de ses termes est absolument convergente" je suppose que ça doit être ça le problème dans l'exemple ? (pas vraiment vu dans le cours )

[gg0]

Je ne sais pas si "c'est ça", mais il est vrai que si la série de Fourier est absolument convergente, la fonction périodisée est continue (Ce n'est donc possible que si ta fonction f définie sur [a;b] est continue sur [a;b] et f(a)=f(b)).

Mais il est difficile de te suivre, car on ne peut pas vraiment discerner ni ce que tu sais, ni ce que tu veux faire ...

Cordialement.

[invite39e2954c]

Je ne sais pas si "c'est ça", mais il est vrai que si la série de Fourier est absolument convergente, la fonction périodisée est continue (Ce n'est donc possible que si ta fonction f définie sur [a;b] est continue sur [a;b] et f(a)=f(b)).

Mais il est difficile de te suivre, car on ne peut pas vraiment discerner ni ce que tu sais, ni ce que tu veux faire ...

Cordialement.

J'essaie juste de comprendre certains points obscurs de la théorie, mais à chaque fois je découvre des lacunes dans ma compréhension. Sur le dernier point discuté, ton théorème n'est pas cité dans mon cours, c-à-d la condition f(a) = f(b) pour l'égalité partout sur l'intervalle, mais on parle plutôt de la convergence en valeur absolue des coefficients de la série. En réalité, je ne saisis pas cette condition (je ne suis pas certain) : de quelle terme s'agit-il et vers quel valeur il converge ?
Je sais qu'on ne refait pas son cours sur un forum, mais sur le court terme, je n'ai pas le temps de me plonger dans un livre pour tout comprendre de A à Z.

[gg0]

Ok.

Ne te formalise pas trop de découvrir des incompréhensions, cette théorie est assez délicate et a mis en difficulté les mathématiciens du XIX^e siècle.
Si je comprends bien tu as un théorème du genre " si les séries de termes généraux d'une part et d'autre part convergent, alors la série de Fourier de la fonction continue f converge vers f " (à moins que ce soit les ).
En fait, il s'agit d'un cas particulier de convergence normale.

Ce qui complique fortement la situation, c'est de ne pas travailler avec une fonction périodique. Sur une période, la fonction peut être continue, tout en étant discontinue globalement. Comme on n'a pas le contenu de ton cours, il est difficile de savoir ce qui a été enseigné. J'ai peur de te compliquer la situation ...

Cordialement.