Problème de topologie ...

[invite8c935645]

Bonsoir tout le monde,

Je rencontre un problème de topologie pour lequel je crois connaître la réponse mais impossible pour moi de justifier ce que je crois savoir. Quelqu'un pourrait-il m'aider à justifier proprement ? Voici le problème :

Soit O la rotation antihorlogique du plan centrée en l'origine et d'angle 2pi/5. Notons D=[ (x,y) appartenant à R^2: x^2+y^2=1]. On introduit une relation d'équivalence ~ sur D par (x,y)~(x',y') si et seulement si il existe un entier n tel que (x',y')= O^n(x,y). Le quotient D/~ est-il homéomorphe à D ou S^2? Justifier.

--> Je crois que D/~ est homéomorphe à D parce que :
je pense qu'il existe un homéomorphisme de qui envoie D/~ sur D (et qu'il n'en existe pas qui envoie D/~ sur S^2).
Mais je ne trouve pas cette homéomorphisme
Intuitivement, je commencerais par dire que D est l'ensemble des couples (x,y) qui sont tels qu'ils constituent un cercle dans R^2 et que le quotient D/~ est l'ensemble des classes d'équivalence dont le représentant est le couple (x,y) qui est égal à tout couple qui subit une rotation antihorlogique de 2pi/5. Par contre, je ne conçois pas qu'il existe un homéomorphisme qui envoie D/~ sur S^2 (ce dernier étant une sphère dans R^2).

Mais comment justifier ça ? Je crois qu'il faut trouver l'homéomorphisme en question ... (Et je ne vois pas non plus comment montrer qu'il n'en existe pas pour S^2).

Merci d'avance pour toute réponse et aide apportée !
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[invite8c935645]

Et peut-être commencer en définissant une application q : D -> D/~ et donc l'homéomorphisme serait q^-1: D/~ -> D et prendre la notation exponentielle imaginaire exp(i2pi.n/5) (avec n un entier) et dire que q^-1 est bien définie car l'application inverse d'une rotation est encore une rotation. Je n'ai pas l'impression que je justifie bien ...
???


EDIT du message précédent : S^2 = sphère dans R^3

[taladris]

Salut,

une possibilite: les classes d'equivalence de ta relation sont les orbites d'une action libre et totalement discontinue du groupe fini U_5 (le groupe fini a 5 elements) sur la variete lisse D. Donc l'espace des orbites a aussi une structure de variete lisse de sorte que l'application quotient soit un revetement, qui est de dimension 1. D etant compact et connexe, son quotient l'est aussi. Il n'y a qu'une seule variete lisse connexe compact, le cercle. Donc le quotient est homeomorphe (et meme diffeomorphe) a D.


Si tu n'es pas familier aux varietes, l'idee d'utiliser les nombres complexes est bonne: tu peux consider l'application de dans definie par et montrer que l'application passe au quotient.

Cordialement

[invite8c935645]

Un grand merci !

Ça m'aide beaucoup même si, comme tu sembles l'avoir deviné, je serais effectivement plus familière avec la 2e façon de faire que tu proposes.
Mais c'est déjà beaucoup et je crois comprendre partiellement ta première réponse (il faut que je me renseigne sur ce qu'est une variété lisse en fait).

Ça me donne du courage pour poursuivre le syllabus de topologie Merci !

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite8c935645]

Juste pour être sûre d'avoir compris (i.e. je ne fais que reprendre ce que vous avez écrit mais avec mes notations ) et j'ai aussi une petite question en plus :

D/~ = {classes d'équivalences}={orbites d'une action libre et totalement discontinue du groupe fini sur la variété lisse D}.
Donc l'espace des orbites a aussi une structure de variété lisse de sorte que l'application quotient : D->D/~ soit un revêtement, qui est de dimension 1.
D étant compact et connexe, son quotient D/~ l'est aussi.
Il n'y a qu'une seule variété lisse connexe compact, le cercle.
Donc, le quotient D/~ est homéomorphe (et même difféomorphe) à D. --> Ce qui explique également pourquoi D/~ n'est pas homéomorphe à S^2 puisqu'une unique variété lisse connexe compact existe, à savoir le cercle. Mais là, je me demande pourquoi il n'y a que le cercle ? J'ai vu qu'une variété lisse était une variété différentielle de classe C∞ mais je ne vois pas pourquoi seul le cercle est une variété lisse connexe compact et pas la sphère par exemple ?

[invite8c935645]

La réponse à ma question serait peut-être le fait que la sphère de dimension n est un ouvert dans R^n et donc, forcément n'est pas un compact dans R^n (et pas connexe qui plus est dans R^n)?
Mais comment savoir que le cercle est l'unique variété lisse connexe compact ?
Et le cercle S^1=D n'est pas simplement connexe ... Je dois confondre simplement connexe avec connexe peut-être ?

[invite76543456789]

Salut,
Tu peux proceder de manière totalement elemntaire.
Tu as une fleche naturelle de R sur D/~ qui est donne par l'exponentielle, qui se factorise en une fleche R/2\pi/5.Z->D/~. Cette fleche est un homeomorphisme (pourquoi?).
D'autre par R/2\pi/5Z et R/2\pi.Z sont homeomorphes par multiplication (ou division) par 5.
Or R/2\pi Z c'est le cercle (via l'exponentielle).

Sinon ce que voulait te dire Taladris, c'est la seule variété differentielle compacte connexe de dimension 1 est le cercle, ce qui n'est pas trivial à prouver.
D'autre par S1 et S2 ne sont pas homeomorphes par l'invariance du domaine de brouwer (ou plus simplement parce que priver le cercle de deux points le deconnecte, mais pas la sphere).

La sphere de dimension n n'est pas un ouvert de R^n, elle est bien connexe et compacte.LE cercle n'est pas simplement connexe, les spheres de dimension superieures le sont (par Van Kampen par exemple)

[invite8c935645]

Tu as une fleche naturelle de R sur D/~ qui est donne par l'exponentielle, qui se factorise en une fleche R/2\pi/5.Z->D/~. Cette fleche est un homeomorphisme (pourquoi?).
D'autre par R/2\pi/5Z et R/2\pi.Z sont homeomorphes par multiplication (ou division) par 5.
Or R/2\pi Z c'est le cercle (via l'exponentielle).

Tout d'abord, merci pour tous ces éclaircissements !
Seulement, pour la première partie de ce que tu m'as répondu, je ne comprends pas très bien les notations que tu utilises ... Notamment, la "flèche naturelle", c'est quoi ?

Sinon, j'ai une rectification à faire pour l'énoncé du problème (mea culpa,désolée : je m'étais basée sur ce qu'avait écrit un ami mais comme j'avais des problèmes avec le fait que D était un cercle et non un disque, j'ai été voir l'énoncé d'origine et en fait, D est bien un disque ...) ça donne :

Soit O la rotation antihorlogique du plan centrée en l'origine et d'angle 2pi/5. Notons D=[ (x,y) appartenant à R^2: x^2+y^2<ou=1]. On introduit une relation d'équivalence ~ sur D par (x,y)~(x',y') si et seulement si il existe un entier n tel que (x',y')= O^n(x,y). Le quotient D/~ est-il homéomorphe à D ou S^2? Justifier.

Peut-être que si tu m'expliques tes notations ("flèche naturelle") et le fait qu'on devrait utiliser l'application R/2\pi/5.Z-> D/~ plutôt que D-> D/~, je finirai par comprendre ...
D'un côté, ce que vous écrivez m'éclaire sur certains concepts et la façon de procéder aussi et d'un autre côté, je ne sais plus comment résoudre l'énoncé ... Désolée pour l'embêtement ...

[invite76543456789]

Ah je me disais que c'etait bizarre de noter D le cercle et pas le disque.
Du coup ton quotient n'a pas l'air séparé (0 est un point fixe de l'action de Z/5Z), il ne va donc pas etre homeomorphe ni a S1 ni a S2.

Pour le reste on peut utiliser S1 directement, je trouve juste plus simple de regarder ce qui se passe via R/2piZ.
La fleche naturelle c'est informel ca veut dire que c'est la fleche qui est "evidente"
Tu as une fleche de R dans S1 donné par l'exponentielle, ok? Cette fleche te donne par composition une fleche de R dans S1/~, et cette fleche est constante sur les orbites de l'action de 2pi/5 Z sur R, par construction, cette fleche te donne donc une fleche continue de R/2pi/5Z dans S1/~.

[invite8c935645]

une fleche continue de R/2pi/5Z dans S1/~.

Histoire d'être sûre : quand tu dis "flèche continue", c'est donc l'équivalent en fait d'une application continue, qui dans le cas présent, serait l'application de -> ~ (avec R les réels et Z les entiers) ?

Et dans l'énoncé on demande si D/~ est homéomorphe à D (le disque) ou . Du coup, ça ne devrait pas être homéomorphe au cercle puisque l'énoncé élimine déjà cette possibilité ...

C'est difficile, topologie ...

[invite76543456789]

Oui, je dis fleche pour dire application. C'est une habitude tres courrante.

En fait dans ton cas y a deux problemes en un (vu que tu as posé d'abord un enoncé modifie).

Je note S1 le cercle, et D le disque.

Si on regarde S1 quotienté par l'action de Z (j'ai ecrit Z/5Z au lieu de Z a tord dans mon message precedent) que tu as donné dans ton premier message, alors le quotient est homeo a S1, je t'ai donné la preuve, qui consiste a remarquer que le quotient est "naturellement" homéo à .

Si on regarde D quotienté par l'action de Z que tu as donné, alors le quotient n'est pas sépare (l'action n'est pas proprement discontinue... je ne sais plus si c'est une condition necessaire au fait que le quotient soit sépare, elle est suffisante cela dit, mais ici de toute façon, on montre tres facilement que le quotient n'est pas sépare à la main). Le quotient ne saurait dont etre homeo a S1, D ou S2 qui sont bien sur, séparés.

[taladris]

D/~ = {classes d'équivalences}={orbites d'une action libre et totalement discontinue du groupe fini sur la variété lisse D}.|
Donc l'espace des orbites a aussi une structure de variété lisse de sorte que l'application quotient : D->D/~ soit un revêtement, qui est de dimension 1.
D étant compact et connexe, son quotient D/~ l'est aussi.

Exact

Il n'y a qu'une seule variété lisse connexe compact, le cercle.

Sinon ce que voulait te dire Taladris, c'est la seule variété differentielle compacte connexe de dimension 1 est le cercle, ce qui n'est pas trivial à prouver.

i vu qu'une variété lisse était une variété différentielle de classe C∞ mais je ne vois pas pourquoi seul le cercle est une variété lisse connexe compact et pas la sphère par exemple ?

Oups, au temps pour moi. Il faut aussi supposer qu'une variete lisse est separee et a base denombrable. Le theoreme est "Une variete lisse () separee, a base denombrable est soit diffeomorphe a une droite, soit au cercle", le premier correspondant au cas non compact et le second au cas compact.

Je n'en connais pas la preuve. C'etait un exercice dans "Geometric theory of foliations" de Camacho et Lins-Neto; ils suggeraient que c'etait une consequence du theoreme d'inversion locale.

Du coup ton quotient n'a pas l'air séparé (0 est un point fixe de l'action de Z/5Z), il ne va donc pas etre homeomorphe ni a S1 ni a S2.

Avoir un point fixe n'est pas une condition necessaire pour que le quotient soit separe. Par exemple, l'action de sur a 0 pour point fixe mais l'espace des orbites est separe, puisque homeomorphe a .

Par contre, si l'action n'est pas libre, la surjection naturelle n'est pas un revetement (le cardinal des fibres n'est pas localement constant).

Si on regarde D quotienté par l'action de Z que tu as donné, alors le quotient n'est pas sépare (l'action n'est pas proprement discontinue... je ne sais plus si c'est une condition necessaire au fait que le quotient soit sépare, elle est suffisante cela dit, mais ici de toute façon, on montre tres facilement que le quotient n'est pas sépare à la main). Le quotient ne saurait dont etre homeo a S1, D ou S2 qui sont bien sur, séparés.

Je ne comprends pas: D/~ est aussi l'espace des orbites par une action d'un groupe a 5 elements, donc compact. Comment l'action pourrait ne pas etre proprement discontinue?

Cordialement

[invite8c935645]

J'ai bien lu tout ce que vous m'avez répondu et je vous en suis reconnaissante et ça me servira probablement plus tard
Mais, il y a dans tout ça, des concepts que je n'ai pas vus ... Et je crois que si vous faites intervenir ces concepts, c'est parce qu'il y avait une erreur dans l'énoncé (je l'ai écrit plus haut mais vu le nombre de messages qui s'accumule, cela est devenu moins visible) :
D n'est pas un cercle mais un disque (l'ensemble des couples (x,y) : $x^2$+$y^2$<ou=1).
Dès lors, peut-être que si on cherche un homéomorphisme qui envoie D/~ sur D, je n'aurais besoin ni des variétés lisses, nide l'hypothèse de séparabilité ?

Je pensais définir le quotient canonique : D -> D/~
Soit l'homéomorphisme f: D/~ -> D défini quel que soit x = avec t appartenant à [0,2 [ par f(x) = adhérence [exp((2/5) it)]
f est clairement un bijection continue et vérifiant que est continue.
Soit O un ouvert de D/~
On sait que est ouvert.
Ceci implique que {x+n.(2/5) tel que l'adhérence de x appartien à O et n appartient à {1,2,3,4,5} et x appartient à l'adhérence de x et x appartient à un arc de cercle de 0 à 2\5 non compris}
ouvert ?
= { tel que l'adhérence de x appartien à O et n appartient à {1,2,3,4,5} et x appartient à l'adhérence de x et x appartient à un arc de cercle de 0 à 2\5 non compris}
Puis, définir une autre fonction, disons g: D -> D : x ->
Ensuite, je ne sais pas quoi faire ... Et je ne sais pas si ce que j'ai écrit est tout à fait exact ...

Pourriez-vous encore m'aider, svp ?

[invite76543456789]

Je ne comprends pas: D/~ est aussi l'espace des orbites par une action d'un groupe a 5 elements, donc compact. Comment l'action pourrait ne pas etre proprement discontinue?

Cordialement

Je me suis emmellé les pinceaux, comme je croyais que l'action etait sur S1 au debut, je l'avais ecrit comme l'action de Z par (n,s)->s^{5^n}, qui coincide bien avec l'action par rotation definie au debut, puis quand on est passé sur le disque je suis resté avec l'action donnée par (n,s)->s^{5^n} (dont les orbites ne sont pas séparés pour la topologie quotient) mais j'avais zappé que c'etait (n,s)->se^i2n\pi/5, qui elle est bien proprement discontinue (comme tu le dis, pour la raison evidente qu'elle se factorise en une action de Z/5 sur D).

[invite76543456789]

J'ai bien lu tout ce que vous m'avez répondu et je vous en suis reconnaissante et ça me servira probablement plus tard
Mais, il y a dans tout ça, des concepts que je n'ai pas vus ... Et je crois que si vous faites intervenir ces concepts, c'est parce qu'il y avait une erreur dans l'énoncé (je l'ai écrit plus haut mais vu le nombre de messages qui s'accumule, cela est devenu moins visible) :
D n'est pas un cercle mais un disque (l'ensemble des couples (x,y) : $x^2$+$y^2$<ou=1).
Dès lors, peut-être que si on cherche un homéomorphisme qui envoie D/~ sur D, je n'aurais besoin ni des variétés lisses, nide l'hypothèse de séparabilité ?

Je pensais définir le quotient canonique : D -> D/~
Soit l'homéomorphisme f: D/~ -> D défini quel que soit x = avec t appartenant à [0,2 [ par f(x) = adhérence [exp((2/5) it)]
f est clairement un bijection continue et vérifiant que est continue.
Soit O un ouvert de D/~
On sait que est ouvert.
Ceci implique que {x+n.(2/5) tel que l'adhérence de x appartien à O et n appartient à {1,2,3,4,5} et x appartient à l'adhérence de x et x appartient à un arc de cercle de 0 à 2\5 non compris}
ouvert ?
= { tel que l'adhérence de x appartien à O et n appartient à {1,2,3,4,5} et x appartient à l'adhérence de x et x appartient à un arc de cercle de 0 à 2\5 non compris}
Puis, définir une autre fonction, disons g: D -> D : x ->
Ensuite, je ne sais pas quoi faire ... Et je ne sais pas si ce que j'ai écrit est tout à fait exact ...

Pourriez-vous encore m'aider, svp ?

Je comprends vraiment pas comment est definie ton application f.

[invite76543456789]

Ce que je ferais pour prouver ton truc c'est que je definirai l'application de D dans D/~ definie par re^ti->la classe de re^it/5 et 0->0. Verifie que c'est bien défini et que c'est un homéo.

[taladris]

Dès lors, peut-être que si on cherche un homéomorphisme qui envoie D/~ sur D, je n'aurais besoin ni des variétés lisses, nide l'hypothèse de séparabilité ?

Oui. On peut construire l'homeomorphisme de maniere elementaire. Je voulais seulement corriger/preciser un message precedent.
rs
Pour ton probleme, tu peux considerer l'application continue F de D dans D definie par . F est invariante par rotation d'angle donc definie une application continue de D/~ dans D. Il est facile de voir que c'est une bijection.

Pour verifier si c'est un homeomorphisme, tu peux au choix:
-> le verifier directement (l'application reciproque est celle definie par MissPacMan)
-> soit justifer que D/~ est compact.

Note que D et S^2 ne sont pas homeomorphes, puisque S^2 prive d'un cercle n'est pas connexe alors que D prive d'un certain cercle (son bord) reste connexe. (Alternativement, S^2 est une variete sans bord, alors que D est une variete a bord

Cordialement

[invite8c935645]

En fait, je me dis que l'objectif de l'exercice, c'est de trouver un homéomorphisme (que j'ai appelé f) qui envoie le quotient D/~ sur D (le disque) (et qui n'envoie pas D/~ sur ).
J'ai essayé de définir f en appliquant la définition même d'homéomorphisme à savoir :
un homémomorphisme f : D/~ -> D est une bijection induisant une bijection entre les ouverts de D/~ et les ouverts de D.

Par ailleurs, je m'appuie également sur la vérification d'un lemme qui est le suivant :
f est un homéomorphisme si et seulement si f est bijective, continue et si est continue.

J'espère que j'ai bien répondu à ta question pour ce qui était de savoir comment je définissais f.
Mais je coince toujours pour cet exercice qui rejoint tout un ensemble d'exercices importants à savoir être capable de trouver un homéomorphisme.

P.S.: je ne comprends pas pourquoi vous avez besoin de "discontinuité" ?

[invite8c935645]

Excusez-moi ! Je vous ai répondu mais je n'avais pas vu vos messages de 23h et 4h (du matin ?! L'esprit clair pour la topologie même durant vos insomnies ? J'aimerais bénéficier de pareilles insomnies ! ).

Toujours est-il que je viens de voir vos deux derniers messages et que ça semble m'aider (je vais revoir ça à tête reposée).

Merci en tout cas !