Problème de topologie

[invite6a155a96]

Bonjour,

J'ai une petite question de topologie à soumettre. Voici la question : on considère X un ensemble muni de deux métriques et équivalentes. On veut montrer que les topologies données par ces métriques sont égales.
J'ai produit une preuve mais j'aimerai savoir si elle est correcte :

On sait que les deux métriques et sont équivalentes donc que :

Soit r>0 quelconque. Ecrire implique donc que et donc l'inclusion : où désigne la boule ouverte de centre x et rayon r pour la métrique .
On obtient de même :

En nommant T1 la topologie sur et T2 celle dans on peut écrire que la première inclusion implique que tout ouvert de T2 est aussi dans T1 et la seconde que tout ouvert de T1 et aussi dans T2, d'où T1=T2.

J'ai l'impression de faire un peu un "raccourci" sur la fin de ma preuve mais je ne vois pas comment détailler davantage...

Merci de vos conseils!

JB
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[inviteea028771]

Tu pourrai détailler avec un truc du genre :

soit un ensemble A, tel que A soit un ouvert de T1, alors pour tout x dans A il existe une boule ouverte B1(x,r) inclue dans A, donc d'après ce qui précède, il existe une boule ouverte B2(x,Kr) inclue dans B1(x,r) et donc inclue dans A. Ainsi A est un ouvert de T2

Après tout dépend du niveau de détail qui est demandé pour la preuve.