Equivalences pour des projecteurs

[invited384d3ff]

Bonjour,

Suite à une série d'exercices sur des équivalences d'énoncés à propos de projecteurs en voici trois que je suis bien incapable de résoudre...

Soient montrer l'équivalence
°) f et g sont deux projecteur et Im f = Im g
°) f o g = g et g o f = f

Soient f et g des projecteurs de E. Montrer qu'il y a équivalence :
°) f+g est un projecteur
°) f o g = -g o f
°) f o g = g o f = 0

Soit p un projecteur de E. Soit V un sous-espace vectoriel de E. Montrer qu'il y a équivalence :
°) V est stable par p
°) V est la somme d'un sev de Ker p et d'un sev de Im p

Merci d'avance pour toute aide qui pourra être apportée !
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[invited384d3ff]

J'ai réussi à prouver pour le deuxième énoncé que :
- la troisième proposition impliquait la première
- la première impliquait la deuxième
Il ne me resterait plus qu'à prouver que la deuxième implique la troisième pour mon équivalence, n'est-ce pas ?

Pour les deux autres énoncés toujours rien.
Aide vraiment bienvenue.