Projecteurs

[Seirios]

Bonjour à tous,

J'ai rencontré quelques difficultés dans un exercice sur les projecteurs ; la solution ne doit pas être bien compliquée, mais j'aurais besoin d'une petite indication pour me mettre sur la voie.

On considère l'ensemble des projecteurs sur un -espace vectoriel, que l'on note et sur lequel on définit la relation d'ordre : . On a démontré que pour tout , équivaut à .

En considérant q un projecteur qui n'est pas de rang 1 (c'est-à-dire que Im(q) n'est pas engendrée pas un seul vecteur non nul), je cherche à construire un projecteur tel que .

J'ai pensé à prendre et G tel que , et de définir p tel que et , mais je n'arrive pas à montrer que , je n'ai montré que et , c'est-à-dire qu'il me manque à prouver que .

Ensuite, on pose un projecteur q de rang 1 (on a donc ) et . On considère l'application .

Je cherche à montrer que est un isomorphisme. Ce qui me pose plus précisément problème, c'est la surjectivité, parce que j'ai déjà démontré que et , mais je n'ai pas encore réussi à construire un antécédent qui réponde à toute les contraintes.

Quelqu'un pourrait-il me donner quelques indications ?

Merci d'avance,
Phys2
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[invitec317278e]

J'ai pensé à prendre et G tel que , et de définir p tel que et , mais je n'arrive pas à montrer que , je n'ai montré que et , c'est-à-dire qu'il me manque à prouver que .

C'est normal : si G est un supplémentaire quelconque de , le résultat est faux. tu peux faire un dessin en dimension 3, en prenant q tel que son image soit le plan (0,x,y), en prenant vecteur directeur de la droite Ox, et finalement, en prenant G qui ne contient pas la droite Oz pour t'en convaincre.

[Seirios]

Effectivement, j'aurais dû être plus attentif à ce que je disais. Je pense avoir résolu le problème : Soit ; je pose . Ensuite, soit G tel que ; soit H tel que ; je pose alors .
Cela a l'air de fonctionner, j'ai vérifié que , que p est un projecteur et que p<q.

D'ailleurs, pour vérifier que , est-ce que je peux écrire : ? (a priori, cela me semble logique, mais on ne sait jamais...)

Sinon, une indication pour la surjectivité de mon application ?

[invitec317278e]

D'ailleurs, pour vérifier que , est-ce que je peux écrire : ? (a priori, cela me semble logique, mais on ne sait jamais...)

Ton cours donne-t-il du sens à une somme directe de 3 sev ?

sinon, pour la surjectivité, ne peut-on pas prendre , pour x fixé,l'application qui à x associe x_0, et telle que l'image par cette application du noyau de q soit le singleton nul ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[thepasboss]

Bonsoir,

Soit x dans E non nul,

si x est colinéaire à x0, ie il existe a dans K tel que x = a*x0, on prend :
u = a*q est ça fonctionne.

Si x n'est pas colinéaire à x0, on prend G un supplémentaire de vect(x,x0) et on pose v l'application linéaire qui laisse G invariant et qui vérifie v(x) = x0 et v(x0)=x. Alors dans ce cas on pose u = voq

alors uoq = vo(qoq) = voq = u.

Ensuite u(x0) = v(q(x0)) = v(x0) = x. Voili Voilu, je pense ne pas m'être trompé.

[invitec317278e]

Ton cours donne-t-il du sens à une somme directe de 3 sev ?

sinon, pour la surjectivité, ne peut-on pas prendre , pour x fixé,l'application qui à x associe x_0, et telle que l'image par cette application du noyau de q soit le singleton nul ?

ne pas en tenir compte

[Seirios]

Merci à vous deux