Projecteurs

[invite767e7b2a]

Bonjour à tous,

Soit E l'ensemble des matrices carrées d'ordre n à coeff. réels
Soit S l'ensemble des matrices symétriques d'ordre n
Soit A l'ensemble des matrices antisymétriques d'ordre n

on sait que:

• A et S sont supplémentaires dans E
• pour tout M appartenant à E, M= (M+tM)/2 + (M-tM)/2 (tM=transposée de M)
• soient a et b 2 réels fixés non nuls et f l'endo. de E tel que:
  pour tout M appartenant à E, f(E)= a*M + b*tM
• p est le projecteur sur S parallèlement à A

-->rien de bien méchant jusque là!

question: comment exprimer f à l'aide de p et IdE-p? (sachant qu'après, il faudra exprimer f² en fction de f et IdE)

->je ne vois pas du tt comment prendre cette question!

merci beaucoup pour votre aide!

Merci d'avance!
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[invite57a1e779]

Tu connais la forme de la décomposition de sur la somme directe , donc .
Tu en déduis l'expression de la transposée à l'aide de et tu reportes dans ...

[invite767e7b2a]

ce qui nous donne donc: tM=2p(M)-M

d'où, f(M)= a*M + b*(2p(M)-M)=a*M - b(M-2p(M))= a*M - b*(IdE(M)-p(M)) + b*p(M) ;
mais je ne sais pas si laisser sous cette forme suffit! (sachant que je n'ai pas exprimé f uniquement en fction de p et IdE-p !!)

[invite767e7b2a]

ce qui nous donne: f(M)= aM-ap(M)-bM+2bp(M)+ap(M)= (a-b)(M-p(M)) + (b+a)p(M) !

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite57a1e779]

ce qui nous donne: f(M)= aM-ap(M)-bM+2bp(M)+ap(M)= (a-b)(M-p(M)) + (b+a)p(M) !

Oui, dès que tu écris la transposée en fonction de , tu obtiens en fonction de et de , et il suffit d'écrire pour avoir en foncion de et de .

[invite767e7b2a]

Désormais, il me faut exprimer f² en fction de f et IdE.

en dvpant, je trouve: f²=(a²-2ab+b²)*IdE + 4ab*p et je ne vois pas comment modifier cette écriture pour parvenir à la question demandée

[invite57a1e779]

Que veux-tu de plus ? est bien une expression de en fonction de et de !!

[invite767e7b2a]

exprimer f² en fction de f et IdE.

[invitea07f6506]

Ben tu as l'expression de f en fonction de p et Id(E), de là tu obtiens l'expression de p en fonction de f et Id(E), expression que tu replaces dans celle que tu viens de trouver... Rien de plus simple.

Par ailleurs, tu pourrais peut-être te montrer un peu moins sec avec ceux qui t'aident, non ?

[invitece809e09]

Salut la compagnie !
J'ai sensiblement le même exercice à faire, et la question suivante nous propose de déterminer une condition nécéssaire et suffisante pour que f soit un automorphisme de E. Il me faut alors exprimer f^-1 en fonction de f et IdE.

Mon cours et ma fibre mathématique (!) m'amènent à trouver :
f^-1 = 2*a*IdE-f
Cependant, je ne fais aucune confiance à mon intuition... J'aimerais juste une petite méthode pour trouver l'application inverse

Merci à tous !

Bonne journée !

[invite767e7b2a]

Tout d'abord, mille excuses à Garf si j'ai pu paraître un peu sec (ce n'était pas du tout l'effet recherché...).

Ensuite, ayant trouvé que, f²=2af-(a+b)(a-b)IdE, j'en déduis que IdE= (2af-f²)/((a+b)(a-b))--> ce qui pose un gros pb si a=b ou a=-b
d'où f^-1= (2aIdE-f)/((a+b)(a-b))

[invitea07f6506]

Bon.

On a :
(1)
(2)

Si b est non nul :
D'après (1)
En replaçant dans (2) p par cette expression

Si b est nul, f est une homothétie, est le résultat est immédiat.

[invitea07f6506]

Lostinindia

* Ca ne peut pas marcher. On voit que pour certaines valeurs de a et b (a et b nuls, par exemple), f n'est pas inversible ; une expression qui marche à tous les coups est donc fausse.

* Tu peux avoir l'expression de f^(-1) à partir de la question précédente (cf.maseru) dans les cas non pathologiques (|a| différent de |b|).
Si a=b ou a=-b : pour chacun de ces deux cas : qu'est Im(f) ? Quelle est sa dimension ? f peut-elle être bijective ?

[invite57a1e779]

On a :
(1)
(2)

Si b est non nul...

Si b est nul...

Point n'est besoin de discuter la nullité de .
De (1) on déduit que l'on soustrait à (2) pour obtenir directement, et dans tous les cas :

[invitece809e09]

Vous êtes des génies ! Merci pour votre aide.
En ce qui concerne la nullité de b, elle est admise dans mon énoncé donc je ne m'étais même pas posé la question :$ !

Je pensais pouvoir terminer l'exercice seule, mais ensuite il m'est demandé l'expression de f^k en fonction de p,q, a et b.

Et j'ai pensé à utiliser la formule du binôme dans le cas d'endomorphismes (car p et q projecteurs), mais je ne sais pas bien comment aboutir, puisqu'après il y a une matrice à mettre à la puissance k, mais après l'étude des premiers cas, je ne vois pas de rapport avec f^k. Est-ce bien le binôme que je dois utiliser ?

Merci d'avance à nouveau pour votre aide !

[invitece809e09]

C'est bon ! J'avais fait une erreur dans mon calcul de f²...

[invite767e7b2a]

si a=b, f=(a+b)p ; on a: Im(p)=S (c.f tout premier message envoyé); mais est-ce que Im((a+b)p)=S ?
Intuitivement, je dirais oui car si on prend un cas à part où S et A sont des droites vectorielles, alors toutes les images par (a+b)*p se retrouveraient également sur S.
Ainsi, dim(Im(f))=dim S ==> pb: comment trouver dim S; j'ai testé pour n=2 n=3 n=4 et je trouve que dim(S)=3, dim(S)=7, dim(S)=10; dans tous les cas, la dim de l'ensemble des matrices symétriques d'un ordre donné est différente de la dim. de l'ensemble des matrices carrées du même ordre, mais comment le démontrer pour tout n ???