Cas de convergence quadratique.

[invitedb595c58]

Bonjour,
J'ai un exercice sur la convergence quadratique sur lequel j'ai quelques soucis, voici l'énoncé:

 Cliquez pour afficher

Soit , soit une racine simple de P.
1) Démontrer qu'il existe alors un intervalle I fermé de centre r sur lequel le polynôme dérivé P' ne s'annule pas.
On cherche alors à définir une suite réelle (un) telle que :
*
* pour tout
2)Démontrer que u1 est défini. Soit Q le quotient de la divison de P par X-r. Démontrer que
3)Démontrer l'existence d'un intervalle I fermé de centre r inclus dans I sur lequel on a:

En déduire que si alors
4)Déduire de b) par récurrence que si la suite (un) est bien définie, qu'elle converge vers r et que la convergence est quadratique.

1) Ok!
2) Ok!
3) Ici je n'ai vraiment aucune idée... Si on pourrait me montrer la méthode.
4) Aucune idéee non plus...

Merci d'avance,
Ps: S'il est possible d'aller au bout de votre raisonnement, jusqu'au résultat quoi, car cela fait plusieurs fois que je post et des fois malgré une réponse probablement juste je n'arrive pas forcément à comprendre le raisonnement pour finir mon exercice car nous n'avons pas tous les mêmes méthodes, et soyez sur que je ne vais pas recopier bêtement sans comprendre car je suis en Spé et pour les concours vous ne serez pas à coté de moi ^^
-----

[Tiky]

Bonjour,

Pour la question 3), tu sais que le dénominateur ne s'annule pas sur un voisinage de r (en l'occurrence I), et le numérateur s'annule en r.
Tu sais que est continue sur I et donc tend vers 0 lorsque x tend vers r. Il existe donc un voisinage J inclus dans I
tel que cette quantité soit bornée par 1/2.

De ça, tu en déduis que et donc si , tu en déduis que .

La question 4) consiste à refaire la 3) sur les termes et puis de raisonner par récurrence.

[invitedb595c58]

Merci beaucoup!

[Tiky]

Au passage, c'est plutôt Q que Q' dans la formule. Je ne vois pas ce que vient faire la dérivée de Q là-dedans.

[A voir en vidéo sur Futura]