Stratégie et probabilité

[machin3]

Bonjour.

J'ai une question sur l'interprétation pratique des probabilités.

Imaginons un jeu de hasard où on jette un dé. Le joueur doit parier sur le résultat. Soit il parie que le résultat appartient à l'ensemble {1,2}, soit il parie que le résultat appartient à l'ensemble {3,4,5,6}.

La probabilité qu'il gagne dans le premier cas est de 1/3, et de 2/3 dans le deuxième cas.

Cela signifie que si on joue à ce jeu indéfiniment, et qu'on calcule la proportion des parties où le résultat appartient à {1,2}, on obtient une suite de nombres qui converge vers 1/3. Si on calcule la proportion des parties où le résultat appartient à {3,4,5,6}, on obtient une suite de nombres qui convergent vers 2/3.

Si la règle du jeu impose qu'un joueur ne peut jouer qu'une seule fois, le joueur n'est apparemment pas concerné par les probabilités 1/3, 2/3.

Peut-on dire qu'il a intérêt à miser sur {3,4,5,6}, ou que c'est la meilleure stratégie ? Et pourquoi ?

Merci.
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[gg0]

Bonjour.

Tu sembles avoir une curieuse conception de la réalité :
"un joueur ne peut jouer qu'une seule fois, le joueur n'est apparemment pas concerné par les probabilités 1/3, 2/3" ??????

Si le dé est régulier, il a (intuitif, compris par un gamin de 4 ans) plus de chances de tomber sur {3,4,5,6} que sur {1,2}. Et le rapport des cas sur le nombre de possibilité mathématise ce "plus de chances". Donc les 2/3 et 1/3 le concernent parfaitement. Et un collégien fait ce genre de raisonnement très intuitivement (chances dans le tirage d'une tombola, par exemple).
La théorie des probabilités mathématise les probas sur des situations simples en recouvrant ce qui est intuitif (heureusement).
Autre chose : Le fait qu'un nombre soit par ailleurs une limite ne l'empêche pas d'être utilisable. 1/3 est bien la probabilité (intuitive, ou mathématisée) d'obtenir 1 ou 2.

Cordialement.

[Amanuensis]

J'ai une question sur l'interprétation pratique des probabilités.

(...)
Peut-on dire qu'il a intérêt à miser sur {3,4,5,6}, ou que c'est la meilleure stratégie ? Et pourquoi ?

C'est une très bonne question, qui plonge directement dans l'opposition entre deux interprétations de la notion de probabilité.

L'interprétation dite fréquentiste est celle parlant de limite pour des séries infinies de tirages supposés indépendants et supposés suivre la même distribution de probabilité. Elle ne permet pas de répondre à la question.

Pour l'autre interprétation, dite bayésienne (ou "subjective"), la probabilité d'un événement futur est une mesure de sa vraisemblance en fonction des informations connues. Cette interprétation permet de répondre à la question, et plus généralement permet de parler de la probabilité d'un événement unique, y compris sans aucune hypothèse d'une série virtuelle, et ainsi permet de guider le choix d'une stratégie de pari.

Dans le cas présenté, la probabilité au sens bayésien est bien 2/3 au sens où le pari peut être accepté si le gain est au moins la moitié de la mise, et ce même si le dé est pipé. Le raisonnement amenant à cela est un argument de symétrie des informations données, aucune information pertinente ne permettant de distinguer les six possibilités. Il est important de réaliser qu'il s'agit d'une symétrie dans les informations données, et non pas une symétrie supposée dans la physique du dé ; simplement aucune information n'est fournie sur la physique du dé.

La stratégie d'un pari se décide en fonction des informations connues, et ici la proba de {3,4,5,6}, conditionnellement aux informations données, est bien 2/3 au sens bayésien.

[gg0]

En allant dans ce sens :

1) D'une façon générale, on ne peut pas savoir quelle est la meilleure stratégie. peut-être le dé ne fait-il quasiment que des 1. dans ce cas, c'est {1,2} qu'il faut choisir.
2) En termes de modélisation (les probabilités servant de modèle pour les situations aléatoires "réglées", celles où il ne se passe pas n'importe quoi), si le dé est "raisonnablement équilibré" (sinon, on ne joue pas !), la probabilité approchée de l'un est 1/3, de l'autre 2/3, ce qui signifie qu'on a 2 fois plus de chances de gagner avec {3,4,5,6} qu'avec {1,2} et une stratégie raisonnable est de choisir {3,4,5,6}. Ce qui n'assure pas de gagner, puisqu'on est dans un cas où on peut perdre.
3) L'interprétation fréquentiste (que je n'aime pas, je préfère l'interprétation "modélisation" qui est celle qu'on utilise partout ailleurs en maths) permet d'aboutir au même résultat, en lançant le dé suffisamment de fois pour avoir une estimation des différentes probabilités de sortie, puis en appliquant les règles classiques. Malheureusement, le dé s'use ! Je n'aime pas trop non plus l'interprétation bayésienne, qui suppose que l'ignorance se traduit par une équiprobabilité : "un argument de symétrie des informations données, aucune information pertinente ne permettant de distinguer les six possibilités". Car ça laisse bien trop de facilité au tricheur !
4) N'importe comment, si on n'a pas confiance dans le dé (et le fait que les faces sortent à peu près équitablement), il n'y a plus de calcul à faire. Soit on ne joue pas, soit on teste le dé (statistiques).

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Amanuensis]

1) D'une façon générale, on ne peut pas savoir quelle est la meilleure stratégie.

Mais si. À condition de conditionnaliser aux informations. C'est à dire d'éviter le piège de la notion de meilleure stratégie a posteriori (c'est à dire avec plus d'information).

Je ne réponds pas au reste, trop d'affirmations sans base. Cela va juste dériver dans un débat futile. Cela ne m'intéresse pas, et c'est un très mauvais service aux lecteurs.

Mais je trouve dommage de foutre en l'air, par des réponses dogmatiques, la belle intuition du questionneur, qui a bien vu une subtilité importante. Je l'encourage à aller se renseigner par lui-même sur le sujet, et pas sur les forums, où cela dérive presque toujours dans des échanges rhétoriques non constructifs.

[Dlzlogic]

@ Amanuensis,

dans l'opposition entre deux interprétations de la notion de probabilité.

Ce serait tout le même très embêtant qu'il y ait deux notions de probabilité, plusieurs hasards etc.
En math, on peut tout imaginer, mais comme les probabilités concernent le réel, ça réduit sérieusement le champ de l'imagination.

[machin3]

Bonjour.

Merci pour vos réponses.

Je me renseignerai sur les interprétations bayésienne et fréquentiste.

Cette discussion tend à confirmer ce qui causait mon trouble : il n'y a pas d'interprétation unique de la notion de probabilité, et le choix de l'interprétation semble être philosophique plutôt que dicté par des connaissances scientifiques.

Merci à Amanuensis en particulier pour ses réponses intéressantes.

Cordialement.

[Amanuensis]

le choix de l'interprétation semble être philosophique plutôt que dicté par des connaissances scientifiques.

Personnellement, je le vois pas ainsi. L'interprétation est guidée par l'utilisation qu'on a des probabilités. En très gros, il y a une vision comme quoi les probabilités sont utilisées dans les situations avec "hasard", avec une notion de "aléatoire" ; et une autre comme quoi elles sont utilisées pour la prise de décision en information incomplète, sans préjuger de la raison du manque d'information.

Pour prendre des cas pratiques, le premier cas peut être illustré par la génétique des populations (notion de hasard d'événements comme mortalité ou reproduction, pas de notion de prise de décision qui soit apparente), et le second par la théorie des jeux (notion de pari, de décision optimisant une espérance de gain).

[Dlzlogic]

Cette discussion tend à confirmer ce qui causait mon trouble : il n'y a pas d'interprétation unique de la notion de probabilité, et le choix de l'interprétation semble être philosophique plutôt que dicté par des connaissances scientifiques.

Oui, je comprends que ça puisse vous troubler. Mais rassurez vous, dans la réalité, il n'y a ni philosophie, ni choix, mais une réalité mathématique très précise.
Il peut arriver que l'on lise dans des documents très sérieux des expressions du genre "ça dépend", mais ça ne veux en aucun cas dire "c'est à vois de décider", mais ça veut dire par exemple "si telle condition est réalisée", en tout cas, rien de subjectif.

[machin3]

Bonjour.

Tu sembles avoir une curieuse conception de la réalité :

Merci.

La théorie des probabilités mathématise les probas sur des situations simples en recouvrant ce qui est intuitif (heureusement).

La théorie des probabilités permet de trouver aussi des résultats contre-intuitifs, et il y a des intuitions qui sont fausses. A mon sens, les mathématiques servent entre autres à apprendre à se méfier de ses intuitions. De ce fait, justifier un résultat mathématique par le fait qu'il est intuitif me semble très problématique.

Je ne mettais pas en doute le fait qu'il paraît raisonnable à tout un chacun de miser sur {3,4,5,6}. Mais je cherchais une explication qui ne fait pas appel à l'intuition.

Merci.

[gg0]

Bonjour Machin3.

Tu déformes mes propos (mais j'avais une vision déformée des tiens, qui m'a amené à la phrase que tu relèves, qui est plus une interrogation qu'une critique; Je suis désolé si elle t'a choqué). je ne dis pas que les probas mathématisées recouvrent l'intuitif, seulement que la théorie élémentaire (celle de Pascal, Bernouilli, .. Gauss et même Cournot) a été construite sur de l'intuitif, comme l'essentiel des mathématiques élémentaires. Ce qui n'empêche pas d'en déduire des résultats contre-intuitifs.

Pour ton questionnement, il n'y a pas de bonne réponse, car aucun moyen n'existe de prouver mathématiquement que les mathématiques s'appliquent à la réalité (la dernière tentative, celle de Kant (*)a fait un flop, car justement on a démontré à la même époque la cohérence des géométries non-euclidiennes avec la géométrie euclidienne, qui était la seule possible pour Kant). Il reste des preuves intuitives, les constatations que "ça marche". Pour les probas, même très élaborées, on constate que "ça marche"; donc il est raisonnable d'utiliser le modèle espace probabilisé discret équiprobable pour le jet d'un dé non soupçonné d'être pipé et de choisir la meilleure probabilité, puisqu'une conséquence est qu'en moyenne (donc parmi tous les gens potentiellement parieurs) on gagera.

Cordialement.

(*) qui a été matheux avant d'être philosophe.

[Dlzlogic]

Bonjour,
Il me parait utile de rappeler que l'étude des probabilités est une chose. On utilise fréquemment des support simples et palpables pour les explications, jeu de pile ou face, jet de dé, tirage de loto etc. Avec les moyens informatiques actuels, les simulations sont faciles à faire, mais ce ne sont que des vérifications et non des preuves. L'utilisation des résultats de cette étude, c'est autre chose, et il est fréquent de se fourvoyer. Les démonstrations existent mais sont d'une approche difficile, par contre, la répétition des simulations constituent un argument de poids.

A mon avis, sauf étude approfondie, il est préférable de s'en tenir à la simple définition : une probabilité est le rapport du nombre des cas favorables sur le nombre des cas possibles.
Pour le tirage de dé à 6 faces, on a une chance sur 6 de tirer telle face, 2 chances sur 6 de tirer soit 1 soit 2 etc.
Pour répondre à la question d'origine, la meilleure stratégie est de parier sur l'ensemble {3;4;5;6}, puisqu'il y a 4 chances sur 6 de gagner.

Un mot sur "indéfiniment", c'est un peu plus compliqué que cela, dès une vingtaine ou une trentaine de tirages, on peut vérifier si la répartition est "honnête" ou pas. Mais il s'agit qu'une question d'un autre niveau en matière de probabilités.

[invite75a796c1]

Dans le cas présenté, la probabilité au sens bayésien est bien 2/3 au sens où le pari peut être accepté si le gain est au moins la moitié de la mise, et ce même si le dé est pipé. Le raisonnement amenant à cela est un argument de symétrie des informations données, aucune information pertinente ne permettant de distinguer les six possibilités. Il est important de réaliser qu'il s'agit d'une symétrie dans les informations données, et non pas une symétrie supposée dans la physique du dé ; simplement aucune information n'est fournie sur la physique du dé.

Bonjour !

Dans le cas de dés pipés de manière inconnue, peut on envisager toutes les lois de probabilités possibles [0:1]^6 de sommes 1, les sommer par colonne, annuler par symétrie les sommes de ( 1 et 2 ) et de 2 quelconques de 3,4,5 ou 6 et enfin constater qu'il reste à l'avantage de la solution { 3,4,5,6 } les sommes des 2 résultats restants ? Je ne suis pas sûr de pouvoir sommer l'infini du "toutes les lois" puisqu'il faut revenir à une probabilité et rediviser. Ou alors peut on se contenter d'un "cette somme n'est pas négative" et donc la solution {3,4,5,6} est la plus probable ?
merci

[Amanuensis]

L'argument de symétrie est plus direct: j'écris l'intitulé en permutant 1 et 2 (par exemple) : manifestement, c'est le même problème et donc a la même réponse. Etc.

Un raisonnement sur l'ensemble des lois possibles reviendra au même, car à toute loi A correspond une A' identique à A avec 1 et 2 permuté. Etc.

En fait, raisonner sur l'ensemble des lois possibles ne peut aboutir que par symétrie, cause la difficulté de proposer un prior donnant la probabilité d'une loi parmi l'ensemble des lois.

[invite75a796c1]

en effet, j'ai considéré toutes les lois comme équi-probables entre elles.
De plus, je ne sais que faire des lois déjà générées par symétrie et qui sont comptées plusieurs fois dans cette approche.

merci

[invite6754323456711]

Oui, je comprends que ça puisse vous troubler. Mais rassurez vous, dans la réalité, il n'y a ni philosophie, ni choix, mais une réalité mathématique très précise.
...

Justement le formalisme mathématique n'a que faire de vos croyances. Vous ne faite que confirmer la remarque d'Amanuensis

trop d'affirmations sans base. Cela va juste dériver dans un débat futile.
...
c'est un très mauvais service aux lecteurs.

machin3 est assez grand pour construire son propre point de vue.

Avec internet il ne manque pas d'article sur le sujet :

http://en.wikipedia.org/wiki/Cox%27s_theorem
http://en.wikipedia.org/wiki/Probability_logic
http://en.wikipedia.org/wiki/Probability_axioms


En approfondissant les références données.

Patrick

[Dlzlogic]

Bonjour,

Justement le formalisme mathématique n'a que faire de vos croyances. Vous ne faite que confirmer la remarque d'Amanuensis

Cette remarque me parait déplacée. "mes croyances" n'ont rien à voir avec les mathématiques, encore moins avec les probas. Il est indispensable que vous précisiez votre pensée.
Les articles indiqués sur Wiki sont en langue anglaise.