Equation differentielle avec un petit nombre

[invite43e0675f]

Bonjour tout le monde,

J'ai un peu de mal a comprendre une equation differentielle. Pour faire simple, prenons une equation de ce type



est un tres petit nombre.

Je m'attendais a avoir un regime dans ou on peut negliger et donc reduire l'equation a



afin de satisfaire nos conditions aux limites, nous aurions un changement de tres proche des bords afin de satisfaire ces conditions ...

Mais en fait ce n'est pas ce que j'ai. Si j'impose des conditions aux limites consistentes avec mon equation algebrique, i.e. et j'ai une solution de l'equation differetielle tout a fait proche de , c'est comprehensible.
Si j'impose des conditions differentes, je me retrouve avec des oscillations autour de la solution algebrique. Vu que les conditions aux limites ne peuvent pas etre satisfaite par on doit avoir une contribution de et . Mais ils sont multiplies par un tout petit nombre, donc afin d'avoir une contribution nous avons besoin de tres grandes variations , ce qui genere les oscillations. Donc je le comprends avec les mains mais peut-on demontrer cela de facon plus "serieuse"

Merci.
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[albanxiii]

Bonjour,

Si vous divisez votre équation par vous allez trouver que et ont de grandes valeurs si et ne sont pas encore plus petits que .

@+

[invite43e0675f]

Merci albanxiii,

C'est en fait ce que je dis dans mon message. Si les conditions aux limites ne sont pas satisfaites, on n'a pas ou bien ce qui implique , ce qui donne .
Mon probleme est de comprendre pourquoi ces larges derivees donnent des oscillations, je le comprends graphiquement mais j'aimerai mieux le comprendre.
Graphiquement cela se comprend parce que les bords sont fixes, commencons par , la courbe va monter trop vite, elle doit donc redescendre mais elle va tourner avec une derivee seconde tres grande ensuite la fonction va retomber de facon tres rapide ... et donc on va avoir parfois et parfois , ce qui va generer les oscillations jusqu'au bord ou on va satisfaire notre condition. Mais comment mieux le dire ...

[invite43e0675f]

Petite precision. Pour cette equation tres simple, on peut toujours faire une transformation et voir les oscillations, e.g. ce qui donne



Mais les eq. que je regarde sont non lineaires et pourtant on a le meme comportement, i.e. on peut la reduire a une equation algebraique si les conditions aux bords sont consistentes ou bien on aura des oscillations.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite63e767fa]

Bonjour,

L'équation donnée en exemple peut être résolue analytiquement. Mais ce serait un travail trop long et volumineux pour être mis sur le forum. La fonction f(x) intervient dans le résultat par sa présence dans des intégrales définies qui incluent aussi le paramètre epsilon (comme on pouvait s'y attendre). Dans la solution il apparait des termes exponentiels et sinusoïdaux dont l'argument est fonction de (1/epsilon)^(1/2) lorsqu'on ne conserve que les premiers termes du développement asymptotique en epsilon. Il s'agit donc de termes grandement oscillatoires dont la période devient de plus en plus petite.
Mais cela ne répond pas exactement à la question posée, car cela décrit des situations encore loin du comportement limite lorsque epsilon tend vers zéro.
Pour avoir une description au plus proche du comportement limite, ce qui serait très ardu analytiquement avec les moyens habituels, il est préférable de faire appel à la transformation de Laplace (page jointe)
On voit alors clairement apparaitre la transition entre epsilon très voisin de zéro et epsilon exactement égal à zéro :
En plus du terme principal y(x)=f(x), le terme suivant comporte une fonction delta de Dirac et sa fonction dérivée. Ces termes s'annulent lorsque les conditions initiales sont les mêmes pour y(x) et f(x).
On peut alors supposer que la fonction de Dirac et sa dérivée constituent des limites pour les fonctions exponentielles et sinusoïdales mentionnées plus haut. Il est connu que la fonction de Dirac peut être définie à partir de limites de fonctions exponentielles et sinusoïdales, comme par exemple sin(x/epsilon)/(pi*epsilon).
J'insiste sur le fait que la page jointe n'est pas une démonstration rigoureuse, afin que les puristes ne s'acharnent pas sur ma modeste contribution.

[invite43e0675f]

Merci beaucoup JJacquelin,
Ca me donne une bonne idee de ce qui se passe pour cette equation et pourquoi ces conditions aux bords peuvent generees des oscillations.
Oserai-je demander une petite contribution supplementaire, comment generaliser cela a des systemes non lineaires, dans ce cas Laplace ne sera plus possible.
Par exemple



on se retrouve avec le meme systeme de problemes, oscillations ou non selon les conditions aux bords.
Quelques petites remarques, on ne peut pas rajouter de non linearite a , i.e. , je pense que cela produirait des equations algebriques avec plusieurs branches et donc peut-etre des sortes de bifurcation
Ensuite les termes en sont homogenes, i.e. que l'on doit avoir des termes du type

[invite63e767fa]

Bonsoir,

il semble que ce qui est demandé est un travail de thèse de cinq années à faire en cinq minutes.
Certes, le challenge est intéressant, mais peu ambitieux : le faire en une minute aurait été plus motivant.
Donc, je vais en rester là sur ce problème.
Bien cordialement,
JJ.