Intégration sur un segment

[invite15d642b9]

Bonjour à tous, j'ai un problème avec cet exercice :

on pose
{}

On demande de montrer que :


J'ai eu quelques idées mais rien qui ne m'aide à conclure :
(Cauchy-Schwarz)



i.e (Taylor-Lagrange)

(Rolle)

Merci, Sakusa
-----

[Seirios]

Bonjour,

Je ne sais pas si cela peut aboutir, mais tu pourrais peut-être étendre en une fonction -périodique puis écrire sa décomposition en série de Fourier. Cette technique fonctionne pour l'inégalité de Wirtinger qui n'est pas très éloignée de ton inégalité.

[Seirios]

Sinon, il serait pratique de préciser le niveau de l'exercice ?

[Seirios]

Je ne me rappelle pas très bien de mon cours d'optimisation, mais ton problème doit certainement pouvoir se résoudre avec un raisonnement lié aux multiplicateurs (version non-linéaire).

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite15d642b9]

Sinon, il serait pratique de préciser le niveau de l'exercice ?

Euh, le niveau... C'est un exercice de sup.

[Seirios]

D'accord, donc la solution doit être plus élémentaire que je ne le pensais.

Juste quelques remarques en passant : Quitte à remplacer par , on peut supposer que . Ensuite, le cas est évident, donc quitte à remplacer par , on peut supposer .

Une dernière remarque : Si , alors (ce qui permet de montrer que la borne est bien atteinte).

[ansset]

j'ai du faire une erreur d'inattention mais il me semble que
f(x)= ax(e(-x)-e(-1))/(1-e(-1)) ne satisfait pas l'inégalité.

[Seirios]

Pour cet exemple, j'ai trouvé (avec et ). Donc cela semble effectivement être un contre-exemple.

[Seirios]

Du coup, je me demande ce que vaut . En se restreignant aux polynômes, j'ai trouvé un minimum de , mais j'aurais tendance à penser que l'infinimum est nul.

[Seirios]

Je pense que si l'on prend si , si et si , avec un polynôme choisi de sorte que soit . Alors . Si l'on choisit suffisamment bien , l'intégrale doit tendre vers zéro lorsque .

Je n'ai pas vérifié les détails, mais je pense que ce soit doit être un bon argument pour montrer que l'infinimum est nul.

[ansset]

bonjour,
on peut aussi voir ce que donne une extention de la fonction que j'ai proposé au mess#7
f(x)=x(e(-kx)-e(-k))/(1-e(-k)) ( j'oublie le a inutile ).
et voir la limite quand k-> l'inf.