Intégration sur un segment
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Intégration sur un segment



  1. #1
    invite15d642b9

    Intégration sur un segment


    ------

    Bonjour à tous, j'ai un problème avec cet exercice :

    on pose
    {}

    On demande de montrer que :


    J'ai eu quelques idées mais rien qui ne m'aide à conclure :
    (Cauchy-Schwarz)



    i.e (Taylor-Lagrange)

    (Rolle)

    Merci, Sakusa

    -----

  2. #2
    Seirios

    Re : Intégration sur un segment

    Bonjour,

    Je ne sais pas si cela peut aboutir, mais tu pourrais peut-être étendre en une fonction -périodique puis écrire sa décomposition en série de Fourier. Cette technique fonctionne pour l'inégalité de Wirtinger qui n'est pas très éloignée de ton inégalité.
    If your method does not solve the problem, change the problem.

  3. #3
    Seirios

    Re : Intégration sur un segment

    Sinon, il serait pratique de préciser le niveau de l'exercice ?
    If your method does not solve the problem, change the problem.

  4. #4
    Seirios

    Re : Intégration sur un segment

    Je ne me rappelle pas très bien de mon cours d'optimisation, mais ton problème doit certainement pouvoir se résoudre avec un raisonnement lié aux multiplicateurs (version non-linéaire).
    If your method does not solve the problem, change the problem.

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    invite15d642b9

    Re : Intégration sur un segment

    Citation Envoyé par Seirios Voir le message
    Sinon, il serait pratique de préciser le niveau de l'exercice ?
    Euh, le niveau... C'est un exercice de sup.

  7. #6
    Seirios

    Re : Intégration sur un segment

    D'accord, donc la solution doit être plus élémentaire que je ne le pensais.

    Juste quelques remarques en passant : Quitte à remplacer par , on peut supposer que . Ensuite, le cas est évident, donc quitte à remplacer par , on peut supposer .

    Une dernière remarque : Si , alors (ce qui permet de montrer que la borne est bien atteinte).
    If your method does not solve the problem, change the problem.

  8. #7
    invite51d17075
    Animateur Mathématiques

    Re : Intégration sur un segment

    j'ai du faire une erreur d'inattention mais il me semble que
    f(x)= ax(e(-x)-e(-1))/(1-e(-1)) ne satisfait pas l'inégalité.

  9. #8
    Seirios

    Re : Intégration sur un segment

    Pour cet exemple, j'ai trouvé (avec et ). Donc cela semble effectivement être un contre-exemple.
    If your method does not solve the problem, change the problem.

  10. #9
    Seirios

    Re : Intégration sur un segment

    Du coup, je me demande ce que vaut . En se restreignant aux polynômes, j'ai trouvé un minimum de , mais j'aurais tendance à penser que l'infinimum est nul.
    If your method does not solve the problem, change the problem.

  11. #10
    Seirios

    Re : Intégration sur un segment

    Je pense que si l'on prend si , si et si , avec un polynôme choisi de sorte que soit . Alors . Si l'on choisit suffisamment bien , l'intégrale doit tendre vers zéro lorsque .

    Je n'ai pas vérifié les détails, mais je pense que ce soit doit être un bon argument pour montrer que l'infinimum est nul.
    If your method does not solve the problem, change the problem.

  12. #11
    invite51d17075
    Animateur Mathématiques

    Re : Intégration sur un segment

    bonjour,
    on peut aussi voir ce que donne une extention de la fonction que j'ai proposé au mess#7
    f(x)=x(e(-kx)-e(-k))/(1-e(-k)) ( j'oublie le a inutile ).
    et voir la limite quand k-> l'inf.

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