Géométrie différentielle - espace tangent d'une variété

[Castitatis]

Bonjour,

j'fais des études de physique, jvais rentrer en M1 cette année et voulant continuer en théorie, j'me suis dis que j'allais me mettre à la géométrie différentielle. J'ai trouvé un PDF mais je bloque sur le concept d'espace tangent. Je cite ce qu'il y a dans le PDF :

Première définition : tangentes à une courbe
Soit un point de la variété . On note l’ensemble des courbes telles que .
Il existe alors suffisamment petit tel que pour un ouvert d’une carte locale . [...] Les sont les applications coordonnées associées à la carte locale .
Sur , nous définissons une relation d’équivalence :



[...]Par définition, l’espace tangent en à , que l’on note , est l’ensemble des classes d’équivalences dans pour cette relation.

J'ai fait quelques recherche mais j'ai du mal à comprendre ce qu'est un ensemble de classe d'équivalence. De ce que j'ai compris, une classe d'équivalence serait par exemple un ensemble où les satisfont à relation au dessus, et l'ensemble des classes d'équivalence serait , c'est ça?


Je comprends pas vraiment ce que contient , surtout que par la suite on définit des vecteurs de comme des genre d'opérateur différentiels mais je ne comprends pas sur quoi ils agissent.

Si vous pouviez m'aider svp.

Merci.
-----

[Amanuensis]

J'ai fait quelques recherche mais j'ai du mal à comprendre ce qu'est un ensemble de classe d'équivalence. De ce que j'ai compris, une classe d'équivalence serait par exemple un ensemble où les satisfont à relation au dessus, et l'ensemble des classes d'équivalence serait , c'est ça?

Oui, mais ce n'est pas très utilisable comme ça. Les courbes équivalentes le sont parce qu'elles ont "même" dérivée au point p. Visuellement, elles sont d'une part tangentes en p et de l'autre elles passent par p "à la même vitesse".

Du coup une classe se comprend comme un "vecteur tangent" à une courbe, la classe d'équivalence étant l'ensemble des courbes ayant "le même vecteur tangent".

Je comprends pas vraiment ce que contient ,

Si on pense au paramètre t comme un temps, un vecteur tangent est une valeur possible de la vitesse (direction et module) d'une trajectoire passant en p. (C'est une illustration ; le but de la définition est de rationaliser la notion.)

Cas simple: la Terre vu comme une surface M. TpM est l'ensemble des vitesses en p, par exemple 10 km/h vers le Nord ou 5 km/h vers l'ouest (si p différent d'un pôle).

surtout que par la suite on définit des vecteurs de comme des genre d'opérateur différentiels mais je ne comprends pas sur quoi ils agissent.

Ils agissent sur les champs, par exemple les champs scalaires. On a intuitivement la notion de "dérivée directionnelle", comme varie le champ dans une "direction". Les vecteurs de Tm encodent cette notion de "direction", et peuvent s'interpréter comme une opérateur de dérivée directionnel sur un champ.

[Castitatis]

Mais donc ne contient pas des vecteurs au sens vecteur dans mais plutôt des opérateurs différentiels qui agissent sur des champs? mais des champs de dans ou de dans (dans le cas d'un champ scalaire). Parce que par la suite il définit les composantes du vecteur tangent comme :

Par la suite j'vois que c'est appliqué sur des fonctions de dans alors que la dérivée partielle se fait par rapport à qui est la coordonnées dans . Donc je comprends pas...

[Amanuensis]

Mais donc ne contient pas des vecteurs au sens vecteur dans mais plutôt des opérateurs différentiels qui agissent sur des champs?

Faut penser en termes d'espaces vectoriels généraux, pas en termes restreints comme . Un ensemble d'opérateurs peut avoir une structure d'espace vectoriel réel, au sens où il est fermé pour les combinaisons linéaires.

(Néanmoins TpM est isomorphe, en tant qu'espace vectoriel, à , avec n la dimension de la variété différentielle.)

mais des champs de dans ou de dans (dans le cas d'un champ scalaire).

Le second.

Parce que par la suite il définit les composantes du vecteur tangent comme :

Comme TpM est un espace vectoriel réel, on peut choisir une base et exprimer les coordonnées de chaque vecteur dans la base choisie. Ici c'est la base composés des opérateurs indicés i tels que le champ scalaire ait pour coordonnée j

Par la suite j'vois que c'est appliqué sur des fonctions de dans

Oui, les champs scalaires.

alors que la dérivée partielle se fait par rapport à qui est la coordonnées dans . Donc je comprends pas...

Faut faire deux "passages", de la coordonnée , qui peut se voir comme un champ scalaire à la base des dérivations directionnelles telle que ce champ ait une dérivée directionnelle nulle pour tous les éléments de la base sauf un, pour lequel sa dérivée directionnelle est 1. Ce dernier élément de cette base est noté , et peut s'appliquer à tout champ scalaire. Et enfin la base obtenue permet d'exprimer (par une liste de coordonnées) tout vecteur de TpM en un point, tout opérateur dérivation directionnelle en ce point.

Notons que, selon une pratique usuelle, on ne distingue pas en p, qui est un élément de TpM, et le champ de (qui est une section du fibré TM).

---

Tous ces concepts sont assez intuitifs, faut pas se laisser faire par un vocabulaire nouveau. En appliquant à la surface d'une sphère, en pensant à la Terre par exemple, tous ces concepts se ramènent à des idées familières. Le passage dans des dimensions supérieures est moins "visuels", d'où l'importance de maîtriser le formalisme.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Castitatis]

Faut faire deux "passages", de la coordonnée , qui peut se voir comme un champ scalaire à la base des dérivations directionnelles telle que ce champ ait une dérivée directionnelle nulle pour tous les éléments de la base sauf un, pour lequel sa dérivée directionnelle est 1. Ce dernier élément de cette base est noté , et peut s'appliquer à tout champ scalaire. Et enfin la base obtenue permet d'exprimer (par une liste de coordonnées) tout vecteur de TpM en un point, tout opérateur dérivation directionnelle en ce point.

J'ai tellement du mal à comprendre que je sais pas quoi comme question poser pour débloquer la situation
Faut que je potasse tout ça...

Sinon j'ai une autre question, après la première définition il en donne une 2ème :

Seconde définition : dérivations
On considère l’espace vectoriel des fonctions de classe sur , . Cet espace vectoriel est une algèbre pour le produit usuel des fonctions : . Pour , nous définissons sur une relation d’équivalence :

On note l’ensemble des classes d’équivalence dans pour cette relation. Le produit sur passe au quotient (comme il est aisé de le vérifier). Donc est une algèbre. Une dérivation sur est une application linéaire qui vérifie la relation de Leibniz en : où et sont les classes d’équivalence de et . Par
définition, l’espace tangent en à , , est l’espace vectoriel des dérivations sur .

en note en bas de page il y a écrit :

est le germe de en .

au niveau des notations :
signifie définie sur l'ouvert ??
c'est quoi exactement? un fonction qui fait partie des fonctions égales à sur ???

et donc est l'EV des applications de dans ce cas??

[invite76543456789]

Salut,
Les notations signifie f restreinte à U, c'est le germe de f (en l'occurence on a vraiment pas de passer par ca pour definir l'espace tangent en un point on peut le definir comme l'ensemble des derivations en p de l'algèbre des fonctions, sans se restreindre aux germes, mais passons).
Si tu veux le germe de f en x, c'est un couple (f,U) ou U est un ouvert contenant x, avec l'identification de (f,U) avec (g,V) ssi f et g sont egales sont U inter V.

L'espace tangent en p c'est effectivement l'ensemble des derivations de l'algèbre des germes de fonctions au point p.

[Castitatis]

(en l'occurence on a vraiment pas de passer par ca pour definir l'espace tangent en un point on peut le definir comme l'ensemble des derivations en p de l'algèbre des fonctions, sans se restreindre aux germes, mais passons)

Tu veux dire que si je remplace les germes par les fonctions elles mêmes, c'est la même chose? J'ai du mal à comprendre l'intérêt des germes en fait :s

[invite76543456789]

Oui, tu n'as pas besoin de passer par les germes. C'est essentiellement a cause du Lemme d'Uryshon.
Dans ces contextes plus rigides (analytiques complexe par exemple) tu es obligé de passer par les germes parce que tu n'as pas l'equivalent du lemme d'Uryshon.

[Castitatis]

Faut faire deux "passages", de la coordonnée , qui peut se voir comme un champ scalaire à la base des dérivations directionnelles telle que ce champ ait une dérivée directionnelle nulle pour tous les éléments de la base sauf un, pour lequel sa dérivée directionnelle est 1. Ce dernier élément de cette base est noté , et peut s'appliquer à tout champ scalaire. Et enfin la base obtenue permet d'exprimer (par une liste de coordonnées) tout vecteur de TpM en un point, tout opérateur dérivation directionnelle en ce point.

j'me suis souvenu que dans le PDF d'où j'ai tiré ça il était écrit :

une fonction prendra localement la forme au dessus de (par abus de notation). En fait, il s’agit ici de la fonction . Attention donc de ne pas se laisser piéger par de tels abus d’écriture fréquents et sous-entendus.

J'ai chercher des trucs sur internet et j'ai trouvé un autre PDF qui dit, si , alors signifie en fait avec l'homéomorphisme de la carte avec laquelle sont définis les

Donc dire serait bien un des "pièges par abus d'écriture" dont fait mention mon PDF?

[taladris]

Salut,

J'ai fait quelques recherche mais j'ai du mal à comprendre ce qu'est un ensemble de classe d'équivalence.

En maths, il est interessant de dire que deux objets differents sont, d'un certains point de vue, les memes (en oubliant les autres proprietes qui les differencient mais ne sont pas importantes pour l'etude en cours) et de les assimiler. C'est la notion d'equivalence qui formalise cette idee et elle est utilisee un peu partout en maths.

Considere E un ensemble non vide. Une relation sur E est une relation binaire sur E, intuitivement une regle verifiee par certains couples (x,y) de . On note si verifie la relation. (Formellement, une relation est un sous-ensemble de , avec la notation speciale au lieu de . Mais en pratique on utilise peu ce fait).

Une relation peut avoir certaines proprietes interessantes telles que:
1) est reflexive si pour tout point x.
2) est symmetrique si implique pour tous points x et y.
3) est transitive si and impliquent pour tous points x,y et z.

Une relation verifiant ces trois proprietes est appelee relation d'equivalence. L'idee est de generaliser les proprietes verifiees par l'egalite.

Si est une relation d'equivalence (on utilise souvent cette notation au lieu de ) et x un point de E. L'ensemble des points y equivalents a x est appelee la classe d'equivalence de x (on la note ou ). Note que les classes d'equivalence forment une partition de E (les classes sont non vides, et deux classes distinctes ont une intersection vide). Les elements de sont ceux que l'on va assimiler a . En pratique, cela signifie qu'on peut travailler indiferemment avec x ou y du moment que x et y sont equivalents. Formellement, on travaille avec la classe d'equivalence.

L'ensemble des classes d'equivalence est l'ensemble quotient . L'interet est que souvent, l'ensemble E est tres gros et contient des elements qui apportent la "meme information". Travailler avec permet de travailler avec un ensemble plus petit sans perdre d'information. Par exemple, si E est un espace vectoriel de dimension finie, il est possible que soit un espace vectoriel de dimension finie, ce qui est beaucoup plus pratique a etudier!

Par exemple, dans le cas des germes de fonctions en p (p un point d'une variete M), on veut etudier localement les fonctions definies au voisinage de p. Peu importe la valeur de la fonction "loin" de p. Il existe de nombreuses fonctions ayant les memes valeurs pres de p (mais probablement distinctes loin de p). L'idee de considerer le germe en p revient a assimiler de telles fonctions, en oubliant leur difference - information non pertinente - loin de p.

Exemple important de relation d'equivalence: imagine qu'un groupe G (eg le groupe de symmetrie d'un ensemble) agisse sur E. Etre sur la meme orbite est une relation d'equivalence. Si E est une variete, et l'action a de bonnes proprietes, sera aussi une variete! Cela permet souvent de construire de nouveaux exemples de varietes, avec des proprietes interessantes.

[Castitatis]

Donc si j'ai bien compris, en gros si dans une équation on a ou , ça veut simplement dire qu'on peut prendre toutes les fonctions qui satisfont à la relation d’équivalence avec ?
J'ai aussi lu "représentant d'une classe", ça veut dire quoi? simplement l'un des éléments de la classe d'équivalence?

J'ai jamais vu la notions d'ensemble quotient donc je comprends pas trop la notation, si sont des classes d'équivalence, alors ???

[Amanuensis]

Donc dire serait bien un des "pièges par abus d'écriture" dont fait mention mon PDF?

Oui. Faut continuer à voir f comme une fonction de M->R, malgré l'écriture. On peut utiliser d'autres notations, comme , c'est plus neutre.

[Amanuensis]

J'ai aussi lu "représentant d'une classe", ça veut dire quoi? simplement l'un des éléments de la classe d'équivalence?

Oui

J'ai jamais vu la notions d'ensemble quotient donc je comprends pas trop la notation, si sont des classes d'équivalence, alors ???

Oui aussi. En fait des ensembles quotient vous avez du en voir plein, sans que ce soit indiqué, telle la prose de M. Jourdain. Par exemple en géométrie euclidienne, quand on présente les vecteurs comme des bipoints AB, l'ensemble des vecteurs est l'ensemble quotient de l'ensemble des bipoints par la relation AB r CD <=> ABDC forme un parallélogramme. Ou Zp, ensemble quotient de Z par a-b multiple de p. Etc.

[Castitatis]

Ok j'pense avoir compris, merci beaucoup