Equation

[inviteda3529a9]

Bonjour a toi.
J'ai un problème dont j'aurai besoin de votre aide:
Determiner les fonctions f telles que f'(x).f(-x) = 1
J'ai pose g(x)=f(x).f(-x) mais je n'arrive pas a montrer que g´(x)=0
Merci d'avance de votre aide
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[Seirios]

Bonjour,

En remplaçant par dans l'égalité , tu obtiens .

[Seirios]

Sinon, une méthode pour résoudre l'équation est de dériver l'égalité pour montrer que est de dérivée nulle (fonction qui est bien définie puisque l'égalité initiale implique que ne s'annule pas). On en déduit alors facilement les solutions.

[inviteda3529a9]

Merci de vot réponse.
Cependant, si on change x en -x, comment est ce que g'=0 ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite4bf147f6]

Bonjour,

g'(x)=f'(x)*f(-x)-f(x)*f'(-x)
or f(x)*f'(-x)=1=f'(x)*f(-x)
donc
g'(x)=f'(x)*f(-x)-f'(x)*f(-x)=0

[inviteda3529a9]

Merci mais pourquoi le - dans g' ?
Ça ne vient pas de (f(-x))' ?

[invite4bf147f6]

si, voir la dérivé de fonction composée
(f°g(x))'=g'(x)*f'°g(x)

[invite5418555b]

Salut,

Pour montrer que g'(x)=0 :

si je me suis pas goure:
on pose u(x)=f(x)
v(x)=f(-x)

(uv)'= u'v+uv'
donc:
g'(x)= f'(x)f(-x) + f(x) [f(-x)]' (1)

on utilise (uog)' = (u'og)g' avec u=f(x) et v = -x
donc [f(-x)]' = f'(-x). (-x)' = -f'(-x)

ce qui donne dans (1):
g'(x)= f'(x)f(-x) - f(x)f'(-x)

Comme ton equation initiale f'(x).f(-x) = 1 est vraie quelque soit x, elle est vraie en particulier pour -x, donc f'(-x).f(x) = 1

donc g'(x)= f'(x)f(-x) - f(x)f'(-x) = 1-1 = 0


Soit dit en passant; e(x) a l'air d'etre solution: e'(x).e(-x) = e(x)/e(x) = 1.

[breukin]

Voici ce que je propose :

On sait que donc est dérivable et ne s'annule pas.
De , on déduit que est aussi dérivable.

On a aussi la relation , soit .

Considérons la fonction
On a . Donc est constante : .

est dérivable : dérivons la relation initiale :
, donc (en utilisant ).

Donc vérifie et donc et .

Il ne reste plus qu'à satisfaire la relation initiale :

donc et .

Donc , et , et donc , et donc .

donc ou .

Les 4 solutions sont finalement , , et .