calcul du volume du solide de révolution

[doko25]

Bonjour à tous,

J'ai un petit problème de compréhension au niveau d'un exercice dont voici l'ennoncé

Etablir l'intégrale du volume du solide engendré par la révolution autour de la droite x=3 de la surface délimité par les graphiques y=x² et y = x+2
( je dois faire le calcul en utilisant les tubes cylindriques).
D'après la formule,

V = 2pi * (rayon moyen) * (heauteur)* (épaisseur)

ensuite je dois integrer l'expression.
Le soucis est que je n'arrive pas à comprendre comment exprimer le rayon moyen dans ce cas.

hauteur d'un tube = x+2-x²
épaisseur pour un tube = dx
rayon moyen= ???


On m'a donné comme rayon moyen (3-x) ce qui est correct mai je ne comprend pas comment on arrive à trouver ce résultat.
L'intervalle sur le quel je dois integrer est [-1;2].
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[mickan]

Bonjour,

L'équation x=3 ne définie pas une droite!

[doko25]

x = 3 ???

oui c'est bien une droite ...

[ansset]

( je dois faire le calcul en utilisant les tubes cylindriques).
.

je n'aurai pas pris cette approche ( que je ne saisi pas d'ailleurs )
je vois une intégrale double.
j'aurai commencé par voir le segment à hauteur h entre la courbe et la droite.
l'intégrale propre de ce segment ( ne pas oublier le r ) correspond à la surface du disque à cette hauteur.
le tout intégré entre 0 et 4

[A voir en vidéo sur Futura]

[mickan]

Effectivement.
Pour le rayon r=3-x, car il correspond à la distance entre la valeur x et l'axe de rotation d'équation x=3

[doko25]

@ mickan , je n'ais pas bien compris pour le rayon moyen, tu pourrais m'expliquer ça avec plus de détails stp

@ansset, l'exercice impose qu'on le résolve de cette manière !!! sinon j'aurais fais comme toi !!!

[topmath]

Bonjour celons la formule du volume d' habitude la révolution ce fait par rapport a l'axe (Ox) , attention maintenant les donnés de cette exercice prouve que la révolution ce fait autour de la droite x=3 parallèle à l' axe (Oy) et par conséquent ce volume ce partage en deux autre volumes c'est à dire V=v₁+v₂ encore faut il délimiter le domaine de définition de v₁ et v₂ pour commencer .

[ansset]

à la relecture:
V = 2pi * (rayon moyen) * (heauteur)* (épaisseur)

celà rejoint ce que je proposais en distinguant evidemment :
de 0 à 1, et de 1à 4 pour y.
à chaque hauteur tu as un disque troué allant de R1(y) à R2(y) , d'épaisseur dy

[topmath]

Bonsoir le volume V=v₁+v₂
telque v₁ est engendrer par la rotation de S₁ autour de la droite x=3.
et que v₂ est engendrer par la rotation de S₂ autour de la droite x=3.
définissant maintenant S₁: est l'air compris entre la courbe y=x² et y=x+2 calculant x₁ et x₂
c'est l'intersection entre la parabole y=x² puits la droite y=x+2 ,
nous aurons x²-x-2=0 => (x₁=-1 et x₂=2) donc S₁ autour de la droite x=3 est définie ainsi :
et
définissant maintenant S₂:est l'air compris entre la courbe y=x² et y=x+2 ainsi que x=3 calculant x₃:
tel que x₃ est l'intersection entre y=x+2 et x=3 qui est lui même x₃=3;
donc S₂ autour de la droite x=3 est définie ainsi :
et

Connaissant la formule du calcule de volume engendrer par la surface en révolution autour de l'axe (Ox) est :

attention maintenant pour que cette formule soi convenable dans son application on doit changer
de repère en sorte que (O'XY) soi le nouveau repère donc changeant les variable tel que x=X-3 et y=Y alors les coordonnés de O' par apport à l'ancien repère sont O'(3,0). je continue demain :

Cordialement

[topmath]

Bonsoir je rectifie seulement pour le changement de variable x=X+3 a la place de x=X-3 pour terminer le calcule et borner l'intégrale nous allons travailler avec les fonctions réciproques dans le nouveau repère, des fonction définie sur l'ancien repère et domaine .

Cordialement

[ansset]

je revient sur mes propos.
bien sur les cylindres, j'additionnai les disques, mais les cylindres c'est beaucoup mieux.
en allant du plus loin à x=-1 jusqu'à x=2
chacun a une épaisseur dx
une circonférence 2PI*R(x) (ou R=3-x) et
une hauteur H(x) correspondant à la différence entre la droite ( x+2) et la parabole x² !

[doko25]

c'est ok j'ai réussir à trouver....
3-x équivaut au rayon d'un cylindre donc la largeur vaut dx.
Merci à tous

[ansset]

et ton resultat final ?
pour voir si on trouve la même chose .
cordialement

[taladris]

[QUOTE=ansset;4584321]à la relecture:
V = 2pi * (rayon moyen) * (heauteur)* (épaisseur)

celà rejoint ce que je proposais en distinguant evidemment :
de 0 à 1, et de 1à 4 pour y.
à chaque hauteur tu as un disque troué allant de R1(y) à R2(y) , d'épaisseur dy/QUOTE]

Ici, R1(y) et R2(y) ne sont pas tres durs a calculer ( car les inverses des fonctions f(x)=x+2 et g(x)=x^2 ne sont pas difficiles a inverser). Mais pourquoi s'embeter quand la formule des tubes cylindriques (qui permet justement de ne pas devoir inverser de fonctions) s'applique directement? En plus, cela semble etre impose par l'exercice.

Cordialement

[taladris]

je revient sur mes propos.
bien sur les cylindres, j'additionnai les disques, mais les cylindres c'est beaucoup mieux.
en allant du plus loin à x=-1 jusqu'à x=2
chacun a une épaisseur dx
une circonférence 2PI*R(x) (ou R=3-x) et
une hauteur H(x) correspondant à la différence entre la droite ( x+2) et la parabole x² !

Je n'avais pas vu ce message. Desole pour l'inutile message precedent.

[ansset]

edit : croisement.

[doko25]

Voici pour la réponse (je sais qu'il y'a latex mais je n'ais pas encore pris le temps de lire le mode d'emploi ce que je ferais prochainement).

[ansset]

je trouve 61pi/2, mais bon l'inatention est mon lot quotidien.
à vérifier.

[topmath]

Bonsoir tout le monde

Voici pour la réponse (je sais qu'il y'a latex mais je n'ais pas encore pris le temps de lire le mode d'emploi ce que je ferais prochainement).

Pièce jointe 226865

Je n'est pas terminé mon calcule mais ce que je constate doko25 vous avez intégré de -1 à 2 pour la surface en rotation par apport à la droite x=3 ce qui a été demander dans l'énoncé de cette exercice , à mon avis il reste une autre surface on rotation par rapport à la même droite x=3 , qui est comprise entre la parabole et y=x+2 sans oublier x=3 d’après le graphe (une sorte de triangle ) car dans l'énoncé je cite "Établir l'intégrale du volume du solide engendré par la révolution autour de la droite x=3 de la surface délimité par les graphiques y=x² et y = x+2" .

Cordialement

[ansset]

je vient de voir une erreur chez moi !

[topmath]

salut ansset idem je dois rectifier pour le change de variable x=X-3 et non x=X+3 .

Cordialement

[ansset]

l'intégrale du post#17 est juste pourtant.

[topmath]

Bonsoir

l'intégrale du post#17 est juste pourtant.

Je suis du même avis seulement je crains qu'il reste une autre surface qui n'a pas été pris en considération voir poste #19:
L 'idéale pour s'assurer que le résultat de notre calcule est juste , je ferai ce soir un calcule supplémentaire de comparaison utilisant le triple intégrale merci .

Cordialement

[ansset]

j'ai fait ma petite correction : 43pi/2

[topmath]

Bonsoir juste deux petite remarque pour doko25 vous avez oublier le dx dans le calcule de volume poste #17 , d'autre par comment ce fait il que la rotation ce fait autour de la droite x=3 (axe de rotation ) parallèle à l'axe (Oy) et votre calcule d'intégrale de ce volume poste #17 , ce fait par apport à la variable x , pourtant ça était signaler par ansset que la variable a était belle est bien (y) il a même utiliser le terme (dy) poste #8 , que je le qualifie cette utilisation juste ;

Cordialement

[doko25]

@topmath, le principe de calcul en se basant sur les tubes cylindriques permet de faire une roatation par rapport à l'axe des x en utilisant une portion dx.
Je joins un dessin qui n'est pas de moi mais qui illustre la situation en question...Pour le reste je suis de ma réponse, je l'ais faite vérifier ...

[topmath]

Bonsoir tout le monde , salut doko je suis d' accord avec vous et vous avez tout les raisons du monde de dire que l'axe de rotation voir même l'intégration par apport à la variable (x) tout à fait avec vous , mais reste applicable aux cours , les exercices et les TD (Travaux Dirigés ) autre chose à titre d' exception ce sujet de discutions ;

Bonjour à tous,

J'ai un petit problème de compréhension au niveau d'un exercice dont voici l'ennoncé

Etablir l'intégrale du volume du solide engendré par la révolution autour de la droite x=3 de la surface délimité par les graphiques y=x² et y = x+2.

Ou on constate clairement que l' axe de rotation est la droite x=3 et parallèle à l'axe (Oy) , donc attention à l’utilisation de la formule d'une part , d'autre part cette condition exiger dans l'énoncé complique un peut la tache .

Cordialement

[taladris]

Pour Topmaths: la methode des tubes cylindriques permet de calculer le volume du solide de revolution obtenu par rotation autour de l'axe (Oy) de la surface delimitee par l'axe (Ox), les droites x=a et x=b, et la courbe y=f(x). Il s'agit d'une integrale par rapport a x. La methode usuelle (integration par rapport a y) neccessite de resoudre l'equation y=f(x), ce qui peut etre complique voire impossible en pratique (cf. exemple 1 dans l'exemple ci-dessous).


http://www.stewartcalculus.com/data/CALCULUS%20Concepts%20and%20Co ntexts/upfiles/3c3-Volums-CylinShells_Stu%20.pdf (je n'ai pas trouve de bonne reference en anglais)

Cordialement

[topmath]

Bonjour tout le monde maintenant c'est claire , y' avait un mal entendu entre moi et doko25 sur l'utilisation des formules car d' après le lien fournis par taladris que je le remercie en passant tranche définitivement sur l'utilisation de ces dernière.

1) doko25 a utiliser cette formule tout en intégrant par rapport à x tout en gardant la rotation par apport à la droite x=3.

2)Moi j' ai utiliser cette formule tout en intégrant par rapport à y , la révolution ce fait aussi par apport à la droite x=3 c-a-d la formule ce

transforme en remarque dans cette formule faut intervenir les fonctions réciproque voir poste #9.
En conclusion y' a deux méthodes ; merci encore à taladris.

Cordialement

[taladris]

transforme en

Malheureusement, cette formule n'a de sens que si f est bijective; et elle ne calcule pas le volume du bon solide de revolution.

On peut utiliser la methode classique et celle des tubes cylindriques meme si f n'est pas bijective. L'exemple 1 dans le lien que j'ai donne est un tres bon exemple pour comprendre l'interet des tubes cylindriques.

Cordialement