Volume d'un solide de révolution (cycloïde)

[invitee80df9f0]

Bonjour à tous,

Cela fait plusieurs jours que je potasse sur une question et pas moyen de m'en dépêtrer

Sujet :

Soit (C) une arche de cycloïde.

L'équation paramétrique de la cycloïde est
x = R ( t - sin t )
y = R ( 1 - cos t )
t appartient à [ 0 ; 2.Pi ]

1) Calculer la longueur de (C) -> Fait, L=8R

2) Calculer l'aire sous la courbe -> Fait, S=3 Pi R^2

3) Calculer le volume V du solide (U) de révolution engendré par une rotation de (S), d'angle Pi, autour de Ox, telle que pour tout y appartenant à (U), y < 0 (ou égale à 0).

Où j'en suis :

1ere méthode :



Pour trouver dV, il me faudrait exprimer le solide dans une équation paramétrique avec trois paramètres.
Pourquoi ? Car si ces trois paramètres sont a b et c, je peux écrire que ... :



Avec (( )) un produit mixte et OM le vecteur position.

t et r semblent être de bons paramètres, mais je ne vois pas le troisième :/

2e méthode :

V est une somme de cylindre de hauteur élèmentaire.
Vu qu'on fait une rotation de Pi (et non de 2 Pi), on divisera à la fin par 2.


(car y est la distance entre Ox et le point M)

Le soucis, c'est qu'en calculant il me reste la variable y dans le résultat, donc forcément c'est faux :/

Conclusion : je sais calculer les intégrales etc ... mais là je ne vois pas comment partir pour calculer ce volume

Merci beaucoup d'avoir lu
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[invite1e1a1a86]

Je ne suis pas sûr de comprendre comment est fait le solide (en particulier la partie "y<0" etc....)

Mais calculons le volume du solide que j'obtient en "tournant" la courbe d'un tour sur elle même (solide de révolution, ce qu'on te demande c'est la moitié je crois)

alors:
imaginons qu'on a la courbe de manière y=f(x)
à chaque x, je peux faire un petit cylindre d'epaisseur dx et son volume est donné par

et donc le volume total est .

ici, on à en fait
y(t) et x(t). pas grave, on fait le changement de variable: x(t) devient t


et donc
qu'il reste à calculer. Je trouve .

[invitee80df9f0]

Parfait, je tombe aussi sur 5 Pi^2 R^3

Pour l'histoire du solide, je l'interprête comme ça :
On fait un solide de révolution avec la cycloïde, mais on tourne d'un demi tour au lieu d'un tour (selon Ox). Et après ba on tourne le solide de manière à ce que tout soit en dessus de zOx (y<0).

Ou alors on part de la cycloïde dans xOy, on tourne de Pi, et on garde que ce qui est en dessous de zOx : un quart du solide de révolution.

Mouais, un peu ambiguë. J'opterai plutôt pour le premier cas (une demie patate).

Enfin bref, merci pour tout Ingénieux le changement de variable

Maintenant je vais essayer de calculer le centre d'inertie et le moment d'inertie de ce machin.
Si j'ai rebesoin d'aide, j'ajouterai à la suite.

Encore un grand merci

[invitee80df9f0]

Bonsoir,

J'ai toujours du mal pour voir comment calculer dans connaitre le dV.





Et par la suite je n'aboutie pas.

D'ailleurs ici je ne pense pas qu'on puisse travailler sur le solide complet. Déjà le centre d'inertie n'est pas le même.

Pour le moment d'inertie, j'ai essayé d'appliquer l'histoire des petits cylindre, mais est-ce que je peux calculer le moment d'inertie de tout le solide complet (2Pi) puis diviser par deux pour avoir le moment d'inertie du solide demandé (Pi) ?

[A voir en vidéo sur Futura]