Vulgarisation de l'action d'un groupe sur un ensemble

[invite50baf54d]

Bonjour,

Je suis tombé sur cet notion: "l'action d'un groupe sur un ensemble", en regardant le programme de l3. Je vous avoue que j'y ai rien compris car trop de notions nouvelles qui me sont inconnues.

Cependant, si quelqu'un peut me "vulgariser" l'action d'un groupe sur un ensemble, en me disant qu'elle est son but dans la théorie des groupes, par exemple.

D'ailleurs, j'ai jeté un oeil à la page wikipédia: http://fr.wikipedia.org/wiki/Action_...ent_transitive

Et la deuxième assertion m'a bien laissé perplexe: "En mathématiques, une action d'un groupe sur un ensemble est une loi de composition externe du groupe sur l'ensemble, vérifiant des conditions supplémentaires. Plus précisément, c'est la donnée, pour chaque élément du groupe, d'une permutation de l'ensemble, de telle manière que toutes ces bijections se composent de façon compatible avec la loi du groupe."


Cordialement,
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[invite76543456789]

Bonjour,
L'exemple prototypique c'est l'action de S_n sur [1,n].
Une action de groupe c'est un morphisme de ton groupe dans le groupe des bijections (ou des automorphisme) d'un certain ensemble (d'un certain objet).
Une action de groupe n'a pas vraiment d"interet dans la theorie des groupes", c'est un phénomène que l'on peut utiliser pour comprendre des choses dans tout un tas de domaine. En general quand un groupe agit sur un objet ca nous donne pas mal d'info à la fois sur l'objet et sur le groupe.
Par exemple pour démontrer les theoremes de Sylow, on fait en general agir le p-groupe sur un certain ensemble, et la recolte des informations nous permet de prouver les dits-theoremes.

[invite179e6258]

Et la deuxième assertion m'a bien laissé perplexe: "En mathématiques, une action d'un groupe sur un ensemble est une loi de composition externe du groupe sur l'ensemble, vérifiant des conditions supplémentaires. Plus précisément, c'est la donnée, pour chaque élément du groupe, d'une permutation de l'ensemble, de telle manière que toutes ces bijections se composent de façon compatible avec la loi du groupe."

si G est un groupe et g un élément de G, on peut considérer l'application telle que . C'est une bijection (prouve-le!) et donc à chaque élément g de G on a fait correspondre une bijection de G dans G. De plus on . On a donc une action de G dans lui-même. La notion d'action de groupe c'est la généralisation au cas où à g on fait correspondre une bijection d'un certain ensemble E dans lui-même, d'où l'idée de 'loi externe", en référence à l'exemple initial.

[invite50baf54d]

Ok, c'est entendu!

Je vous remercie!

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite50baf54d]

Cependant il y a quelque chose que je ne comprends pas: il s'agît de la définition de la nouvelle loi pour l'action d'un groupe sur lui même.

Plus précisément, je ne comprends pas pourquoi on a g.x = g.x.g^-1; la multiplication à droite par l'inverse de g me gène. (par contre je vois bien que g.x = à la translation écrite au-dessus par toothpick-charlie en prenant h=g^-1, faut il que j'en conclu que les actions de groupes sont des composées de translation?)

Cordialement,

[invite14e03d2a]

Salut,

Cependant il y a quelque chose que je ne comprends pas: il s'agît de la définition de la nouvelle loi pour l'action d'un groupe sur lui même.

l'action d'un groupe sur lui-meme est un cas particulier important mais une action de groupe est bien plus generale. Une action du groupe G sur un ensemble X (a priori pas de structure sur X) est une application de dans verifiant
1) pour tout dans X (e element neutre de G)
2) pour tout x dans X, et tous g et h dans G.

En general, on note au lieu de (a l'instar des lois externes). Les proprietes precedentes s'ecrivent et .

Chaque element g de G definit une bijection de X sur lui-meme par . C'est une bijection car et , donc est inversible d'inverse . Donc definir une action de groupe, c'est se donner une famille (avec une structure donnee par les proprietes 1 et 2) de bijections de X: chaque element du groupe agit sur (=transforme) X.

Plus precisement, l'application de G dans Bij(X) (l'ensemble des bijections de X) est un morphisme de groupes. Alternativement, si est un morphisme de G dans Bij(X), il est facile de verifier que definit une action de groupe.

Un exemple: le groupe SO(2) des rotations de agit sur par . L'orbite du point P est le cercle passant par P.

Plus précisément, je ne comprends pas pourquoi on a g.x = g.x.g^-1; la multiplication à droite par l'inverse de g me gène. (par contre je vois bien que g.x = à la translation écrite au-dessus par toothpick-charlie en prenant h=g^-1, faut il que j'en conclu que les actions de groupes sont des composées de translation?)

Il n'est pas pratique de noter par un point a la fois l'action du groupe et la multiplication du groupe G. En general (je n'ai jamais vu le contraire), on note si g agit sur x mais pour la multiplication du groupe. Il y a alors trois actions importantes d'un groupe G sur lui-meme:
1) translation a gauche:
2) translation a droite: (tu devrais essayer de verifier que les axiomes d'une action de groupe sont verifies, en particulier pourquoi -1 apparait dans la formule).
3) action par conjugaison:

Ici, on a mais c'est une coincidence. Toutes les actions d'un groupe sur lui-meme ne sont pas des composes de translations.

Cordialement

[invite50baf54d]

Merci beaucoup!

Ton commentaire m'a été très précieux!