Application linéaire & matrices

[Maelle-Maths]

Bonjour ! J'ai décidé de faire un exercice pour réviser un peu mes cours avant la rentrée mais je me retrouve un peu bloquée alors j'aimerais que vous m'aidiez si vous le voulez bien

Voilà :
"On considère l'application Phi(P)=2*X*P - (X^2+1)*P'

1) Montrer qu'elle est linéaire (ça c'est fait)
2) Déterminer le degré de Phi(P) en fonction de P pour tout P. (si deg(P)=1 alors deg(Phi(P))=1 sinon si deg(P)=n alors deg(Phi(P))=n+1 , c'est ça ?)
3) Phi est-elle surjective ? Injective ? Déterminer l'ensemble des polynomes P tels que Phi(P)=X. (je sais que pour injective, il faut résoudre Phi(P)=0 mais ça fait une équation différentielle du coup)
4) Si on considère la restriction de Phi à l'espace vectoriel des polynomes de degré inférieur ou égal à 2, montrer que c'est un endomorphisme (on a déjà la linéarité mais pour justifier que c'est un endomorphisme, je ne sais pas). Déterminer le rang de Phi, Ker phi et Im phi sont-ils supplémentaires ou non ? (Je pense qu'il faut utiliser le théorème du rang mais ça dépend de la question 3 du coup)


-> J'aurais également besoin d'un rappel, comment on effectue la division euclidienne par exemple de X^n par 2 X^3 + 12 X ?

Merci à vous, bonne journée !
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[Amanuensis]

Bonjour, et bienvenue sur le forum,

On peut comprendre en lisant tout le message qu'on travaille sur l'espace vectoriel réel (?) des polynômes formels, mais cela aurait été utile de l'indiquer dès le début!

De même, on peut penser que P' est la dérivée formelle de P.

2) Non, pas ça. Pourquoi dites-vous que si deg(P)=1 alors deg(Phi(P))=1 ? Erreur de frappe?

3) Suffit d'un exemple de solution pour l'injectivité, pas besoin de résoudre totalement l'équation. Or si 2*X*P=(x^2+1)*P', on connait un diviseur de P...

[mickan]

Bonjour,

Si l'on note P=somme(i de 0 à n) des a_i*xⁱ alors le coefficient de xⁿ⁺¹ de phi(P) est (2-n)*a_n qui peut s'annuler.
S'agissant de l'injectivité, l'équation différentielle est à variable séparable (calcul de P'/P)
Pour l'endomorphisme, l'application doit être linéaire & deg(phi(P)) inférieur ou égale à 2 (utiliser les questions précédente).

[Maelle-Maths]

Amanuensis, oui j'aurais pu le préciser ^^

2) Oui, en fait c'est faux ^^ Donc c'est bon pour le deg(Phi(P))=deg(P)+1 ?
3) En quoi le diviseur aide-t-il ? (Ca doit etre les vacances, j'ai oublié certaines choses peut-être ^^)


Mickan,
J'ai pas tout compris pour l'injectivité
Oui, pour l'endomorphisme, il faut que ça soit linéaire (ça je l'ai montré) mais on s'en doute que deg(phi(p)) doit être inférieur ou égal à 2 puisqu'on se restreint à l'espace vectoriel des polynomes de degré inférieur ou égal à 2 ...

[A voir en vidéo sur Futura]

[Amanuensis]

2) Donc c'est bon pour le deg(Phi(P))=deg(P)+1 ?

Non plus, il y a un degré qui fait exception...

3) En quoi le diviseur aide-t-il ? (Ca doit etre les vacances, j'ai oublié certaines choses peut-être ^^)

Cela permet de choisir quoi commencer à essayer pour "deviner" une solution...

[mickan]

Amanuensis, oui j'aurais pu le préciser ^^

2) Oui, en fait c'est faux ^^ Donc c'est bon pour le deg(Phi(P))=deg(P)+1 ?
3) En quoi le diviseur aide-t-il ? (Ca doit etre les vacances, j'ai oublié certaines choses peut-être ^^)


Mickan,
J'ai pas tout compris pour l'injectivité
Oui, pour l'endomorphisme, il faut que ça soit linéaire (ça je l'ai montré) mais on s'en doute que deg(phi(p)) doit être inférieur ou égal à 2 puisqu'on se restreint à l'espace vectoriel des polynomes de degré inférieur ou égal à 2 ...

Pour éclaircir mes propos,
la restriction à R₂[X] n'est pas suffissante, par exemple l'application P->X*P est linéaire mais sa restriction n'est pas un endomorphisme.

Pour l'injectivité, P'/P est la dérivé de ln(P) et 2x/(x²+1) est la dérivé de ln(x²+1) donc P=A*(X²+1).

[Maelle-Maths]

Amanuensis,
2) Le degré 0 fait exception ?
3) Je vois toujours pas comment procéder x)

Mickan,
2) Pourtant sur l'énoncé, ils disent "montrer que c'est un endomorphisme", erreur de frappe ?
3) D'accord ! Et il faut déterminer le A ?

[Médiat]

Bonjour,

Vous avez précisé : "on se restreint à l'espace vectoriel des polynômes de degré inférieur ou égal à 2 ... ", puis vous avez énoncé que ; il me semble que si on applique votre formule au cas , on obtient quelque chose d'inacceptable !

[Maelle-Maths]

Médiat, oui c'est pour ça que je vois pas comment justifier que c'est un endomorphisme dans cet ensemble !

[toothpick-charlie]

essaie de calculer phi(X^2)

[Amanuensis]

J'avais essayé de suggérer, sans être trop explicite, de calculer Phi(X^2+1), plutôt...

[Médiat]

Je dirais même plus : calculez l'image d'une base ... naturelle.

[Maelle-Maths]

Phi(X^2+1) = X*(X^2 +1)*2 - (X^2 +1)*(2X) = 0

[toothpick-charlie]

ah, donc ça n'est pas toujours vrai que deg(Phi(P))=deg(P)+1

[Maelle-Maths]

Ah oui donc c'est la solution de 2XP-(X^2+1) = 0.
Donc elle n'est pas injective car son noyau n'est pas nul.

[Maelle-Maths]

Oui toothpick-charlie, alors comment justifier que c'est un endomorphisme ^^ ?

[mickan]

Pour montrer que phi est un endomorphisme, on peut écrire P polynôme de degré au plus 2 (P=ax²+bx+c) calculer phi(P) et conclure sur le degré de phi(P)

[Maelle-Maths]

Phi(P) = 2X(aX^2+bX+c) - (X^2 +1)*(2aX+b) = 2aX^3 + 2bX^2+2Xc - 2aX^3 - bX^2 - 2aX -b = bX^2 + 2Xc - 2aX -b
Donc Phi(P) est de degré 2, c'est bien un endomorphisme.

[mickan]

Il faut donc corrigé la réponse de la question 2

[mickan]

Si P est de degré n
avec non nul
et

alors phi(P) de degré maxi = n+1 de coefficient

[Maelle-Maths]

Oui, je le ferai
Donc maintenant qu'on a ça, il faut montrer si l'application est surjective ou pas ...
Phi est surjective si rang de phi = dim E mais E n'a pas de dimension donné, c'est l'espace vectoriel des polynomes à coefficients réels...

[mickan]

rg(phi)=dim(E) est applicable en dimension fini, donc pas ici. Mieux vaut revenir à la définition de la surjectivité.

[Médiat]

rg(phi)=dim(E) est applicable en dimension fini, donc pas ici. Mieux vaut revenir à la définition de la surjectivité.

Ici on est en dimension 3, voir message #4.

[mickan]

Ici on est en dimension 3, voir message #4.

le message 21 fait référence à l'espace vectoriel des polynômes réel, pour répondre à la question 3.
Pour faire le point, quel est la relation entre degré de P et degré de phi(P)?