racine(N) : entier ou irrationnel !

[invite51d17075]

bonjour,
la question a déjà été posée mainte fois sous différentes formes.
par exemple rac(2) irrationnel ou rac(5) irrationnel,....

si on la pose pour tout N:
j'ai déjà une démonstration en suivant les étapes suivantes :
1) rac(p) irrationnel si p est premier
2) rac( produit(pi)) irrationnel si pi irrationnels. ( chaque pi à la puissance 1 )
3) généralisation à tout N.

mais à mon arrivée ici , on ( ericc je crois ) m'a suggéré une autre approche en passant par les polynomes.
P (x) = a0 +a1x+a2*x²+....+an*x^n
si p/q est solution on montre d'abord :
p divise a0 et q divise an. ça c'est fait.
ensuite on considère P(x²) , .....
j'ai cru à l'époque sentir le cheminement, mais je ne le retrouve plus.

si qcq connait cette voie, je le remercie de me rafraichir la mémoire.
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[inviteea028771]

Sinon, on peut le faire directement :

Supposons que avec

Alors

Or p est premier avec q, donc p² est premier avec q², ainsi q=1, et par suite N est un carré parfait


Ainsi toute racine carrée rationnelle est entière

[invite179e6258]

mais à mon arrivée ici , on ( ericc je crois ) m'a suggéré une autre approche en passant par les polynomes.
P (x) = a0 +a1x+a2*x²+....+an*x^n
si p/q est solution on montre d'abord :
(...)

ce n'est pas vrai que les racines d'un polynôme à coefficients entiers de degré > 1 sont soit entières soit rationnelles, prends P(x)=(2x-3)(x-1)

c'est vrai pour un polynôme unitaire.

[invite51d17075]

je ne comprend pas Tryss.
le but est de demontrer que la racine carré d'un entier est soit entière soit irrationnelle , et ne peut être rationnelle.
ce que je ne vois pas dans ton explication.


ps: à toopick, tu as certainement voulu ecrire irrationnelle dans ta première phrase
.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite51d17075]

re,
concernant les polynomes, c'est certainement ça qu'a voulu dire ericc :

Un autre moyen de construire des nombres irrationnels considère les nombres algébriques irrationnels, c'est-à-dire des racines de polynômes à coefficients entiers. Considérons une équation algébrique de la forme
p(X)=a(n)X^n+a(n-1)X^(n-1)+....+a(1) X+a(0)=0
où les coefficients a(i) sont entiers.

Supposons qu'il existe un réel x tel que p(x)=0 (par exemple si n est impair et a_n est non nul, un tel x existe d'après le théorème des valeurs intermédiaires).

Les seules racines rationnelles de cette équation algébrique sont de la forme r/s d'une fraction irréductible où r est diviseur de a_0 et s un diviseur de a_n ; il y a seulement un nombre fini de valeurs possibles que l'on peut essayer à la main. Si aucune de ces valeurs n'est racine de p, x doit être irrationnel.

[invite51d17075]

Sinon, on peut le faire directement :

Supposons que avec

Alors

Or p est premier avec q, donc p² est premier avec q², ainsi q=1, et par suite N est un carré parfait


Ainsi toute racine carrée rationnelle est entière

la phrase que j'ai cotée me semble fausse.

[invite51d17075]

correction, j'ai rien dit ! sorry.