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racine carré et irrationnel ?

  1. #1
    Sarameen

    racine carré et irrationnel ?

    Je me souviens de la démonstration que racine carré de 2 est un irrationnel.

    Je me demande si par généralisation, les racines carrés de tout nombre premier est irrationnel ?

    Et encore plus, si toute puissance 1/n ou n>1 d'un nombre premier est irrationnel ?

    Merci de me renseigner

    -----


  2. Publicité
  3. #2
    martini_bird

    Re : racine carré et irrationnel ?

    Salut et bienvenue,

    en effet et la démonstration est identique: si p1/n=a/b avec a/b irréductible, alors bnp=an. On en déduit que p divise an et donc que p divise a. Mais alors an=pna'n et p divise aussi bn, ce qui contredit le fait que a/b soit irréductible.

    Cordialement.
    Dernière modification par martini_bird ; 17/08/2005 à 07h58.

  4. #3
    evariste_galois

    Re : racine carré et irrationnel ?

    Salut,

    Il me semble que si d n'est pas un carré parfait, i.e il n'existe pas un entier naturel b tel que b²=d, alors la racine carrée de d est irrationnelle. Meme principe de démonstration que celui utilisé par Martini.
    "Au train où vont les choses, les choses où vont les trains ne seront plus des gares."

  5. #4
    g_h

    Re : racine carré et irrationnel ?

    Citation Envoyé par evariste_galois
    Salut,

    Il me semble que si d n'est pas un carré parfait, i.e il n'existe pas un entier naturel b tel que b²=d, alors la racine carrée de d est irrationnelle. Meme principe de démonstration que celui utilisé par Martini.

    Hein ?
    Il n'existe pas de naturel b tel que b² = 9/4, or qui est un rationnel ... !

  6. #5
    evariste_galois

    Re : racine carré et irrationnel ?

    Citation Envoyé par g_h
    Hein ?
    Il n'existe pas de naturel b tel que b² = 9/4, or qui est un rationnel ... !
    Relis bien mon message, j'ai dit "il n'existe pas un entier naturel b tel que b²=d", toi tu poses b=3/2, qui n'est pas un entier naturel .
    "Au train où vont les choses, les choses où vont les trains ne seront plus des gares."

  7. #6
    g_h

    Re : racine carré et irrationnel ?

    haha, décidément faudra que j'apprenne à lire...

    EDIT : en fait non, ton énoncé est ambigu
    Dernière modification par g_h ; 17/08/2005 à 12h38.

  8. #7
    evariste_galois

    Re : racine carré et irrationnel ?

    Citation Envoyé par g_h
    haha, décidément faudra que j'apprenne à lire...

    EDIT : en fait non, ton énoncé est ambigu

    J'aurais peut-être du précisé que d est un entier naturel, mais c'était sous-entendu vu je parlais de carré parfait.
    "Au train où vont les choses, les choses où vont les trains ne seront plus des gares."

  9. #8
    Moma

    Re : racine carré et irrationnel ?

    Salutations,

    En effet, l'énoncé est un peu ambigu au niveau de la distinction rationnels/entiers. Enfin je trouve.

    Je dirait plutôt et plus généralement :

    Si a/b n'est pas une puissance n-ième (i.e. a et b le sont), alors sa racine n-ième est irrationnelle. Voila. La démonstration est essentiellement la même.


    Amicalement
    Moma

  10. #9
    evariste_galois

    Re : racine carré et irrationnel ?

    Petite généralisation, si d n'est pas quotient de carrés parfaits, alors sa racine carrée est irrationnelle.

    EDIT : croisement avec Moma, qui a encore plus généralisé que moi .
    Dernière modification par evariste_galois ; 17/08/2005 à 12h46.
    "Au train où vont les choses, les choses où vont les trains ne seront plus des gares."

  11. #10
    Sarameen

    Re : racine carré et irrationnel ?

    En fait, ce qui m'a toujours fâché, c'est ce passage :

    Citation Envoyé par martini_bird
    ... que p divise an et donc que p divise a.
    Parce que ca, ca ne marche que si p est premier, mais je n'ai jamais réussis à l'écrire de facon rigoureuse.

    (25 divise 102 mais 25 ne divise pas 10)

  12. #11
    evariste_galois

    Re : racine carré et irrationnel ?

    Citation Envoyé par Sarameen
    Parce que ca, ca ne marche que si p est premier, mais je n'ai jamais réussis à l'écrire de facon rigoureuse.

    (25 divise 102 mais 25 ne divise pas 10)

    A titre indicatif, je donne la démonstration lorsque d n'est pas un carré parfait et n=2

    Soit d un entier naturel qui n'est pas un carré parfait. Montrons que d^1/2 est irrationnel.

    Raisonnons par l'absurde. En effet, supposons que d^1/2 soit rationnel. Il existe a et b entiers naturels premiers entre eux tels que d^1/2=a/b, c'est-à-dire b²d=a².

    On considère alors la décomposition de d en élèments premiers. Vu que d n'est pas un carré parfait, il existe un nombre premier p et deux entiers c et q tels que d=c*p^(2q+1) avec p ne divisant pas c.
    Vu que d divise a², p^(2q+1) divise a², donc p^(q+1) divise a, i.e il existe e tel que a=e*p^(q+1).

    D'où, b²*c*p^(2q+1)=e²*p^(2q+2), i.e b²*c=p*e².
    Donc, p divise b²*c mais ne divise pas c, donc p divise b², ou encore p divise b. Or, on a supposé a et b premiers entre eux, d'où la contradiction.
    Dernière modification par evariste_galois ; 17/08/2005 à 17h12.
    "Au train où vont les choses, les choses où vont les trains ne seront plus des gares."

  13. #12
    evariste_galois

    Re : racine carré et irrationnel ?

    Citation Envoyé par Sarameen
    Parce que ca, ca ne marche que si p est premier, mais je n'ai jamais réussis à l'écrire de facon rigoureuse.

    (25 divise 102 mais 25 ne divise pas 10)
    Soit p premier.
    Supposons que p divise a^n et p ne divise pas a.

    On a bien évidemment p et a premiers entre eux vu que p est premier et ne divise pas a.
    Or, si p divise bc et p est premier avec c, alors p divise b.

    On pose c=a, et b=a^(n-1), et alors p divise a*a^(n-1) mais p premier avec a donc p divise a^(n-1).

    Par une petite récurrence, on arrive a p divise a, ce qui contredit les hypothèses de départ.

    Donc si p divise a^n, p premier, alors p divise a.
    "Au train où vont les choses, les choses où vont les trains ne seront plus des gares."

  14. #13
    MB_MathemateX

    Re : racine carré et irrationnel ?

    Une preuve naturelle et assez simple est détaillée ici, pour ceux que ça intéresse.
    MB - MathemateX

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