Comment démontrer que (110-x)/(1+9x) n'est jamais entier pour x entier positif

invitea3f0770d · 01/07/2011, 19h53

Grand bonjour à tous

Je viens ici poser une question qui apparement peut paraître simple, mais qui me pose bien des soucis

,

Soit la fonction suivante $\text{[math]}$ où $\text{[math]}$ est $\text{[math]}$ .

Comment peut-on démontrer que $\text{[math]}$ entier positif, $\text{[math]}$ n'admet aucune solution entière ?

Je tiens à préciser que je ne suis pas un étudiant mais un autodidacte qui cherche autant une méthode d'analyse qu'un résultat !!!

D'avance, je remercie tous ceux qui voudront bien jeter un coup d'oeil sur le problème.

**Amanuensis** · 01/07/2011, 20h15

Le rapport est entier si x=110

SI x<110, il faut que 1+9x<=110-x, soit 10x<=109, x<10. x pair, 5 cas à tester...

Si x>110, 1+9x<=x-110, 8x<=109, x<14. Incompatibilité...

**Tiky** · 01/07/2011, 20h17

Bonjour,

Ta proposition est fausse. On a f(0) = 110. Il est clair que $\text{[math]}$ est strictement décroissante sur $\text{[math]}$ .

On en déduit que $\text{[math]}$ .

Or f est continue sur $\text{[math]}$ . L'image d'un intervalle par f est un intervalle (théorème des valeurs intermédiaires). On a même $\text{[math]}$ . Donc ta fonction atteint tous les entiers compris entre 0 et 110.

**Seirios** · 01/07/2011, 20h18

Bonsoir,

On peut écrire $\text{[math]}$ ; donc $\text{[math]}$ . Or on remarque que 991 est un nombre premier. On trouve finalement que $\text{[math]}$ .

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**Seirios** · 01/07/2011, 20h19

Tiky, as-tu remarqué que x doit être un entier positif ?

**Tiky** · 01/07/2011, 20h22

Oups, je n'avais pas vu que x était un entier... quelle idée d'appeler un entier x.
Donc deux solutions, x = 0 et x = 110.

**Seirios** · 01/07/2011, 20h24

J'ai effectivement oublié la solution x=0

**Tiky** · 01/07/2011, 20h26

Envoyé par Seirios (Phys2)

J'ai effectivement oublié la solution x=0

Les questions les plus simples sont celles où on se plante le plus

invitea3f0770d · 02/07/2011, 17h53

Bonjour à tous,

Merci, pour vos réponses qui nécéssitent quelques éclaircissements.

Effectivement, les valeurs triviales de $\text{[math]}$ sont 0 et 110.

Envoyé par Tiky

Oups, je n'avais pas vu que x était un entier... quelle idée d'appeler un entier x.
Donc deux solutions, x = 0 et x = 110.

Comment doit-on appeler un entier ?

D'après vous, votre démonstration tient-elle toujours pour $\text{[math]}$ entier et strictement positif ?

invitea3f0770d · 02/07/2011, 17h54

Envoyé par Seirios (Phys2)

Bonsoir,

On peut écrire $\text{[math]}$ ; donc $\text{[math]}$ . Or on remarque que 991 est un nombre premier. On trouve finalement que $\text{[math]}$ .

Bien vu pour 991, et donc votre démonstration repose sur le fait que 991 est un nombre premier.

Mais qu'en serait-il de la démonstration si le nombre trouvé était suffisament grand pour qu'on ne puisse rapidement prouver qu'il est un nombre premier?
Bien sûr dans ce cas, il va de soi que 110 serait aussi une autre valeur !

invitea3f0770d · 02/07/2011, 18h02

Envoyé par Amanuensis

Le rapport est entier si x=110

SI x<110, il faut que 1+9x<=110-x, soit 10x<=109, x<10. x pair, 5 cas à tester...

Si x>110, 1+9x<=x-110, 8x<=109, x<14. Incompatibilité...

Je ne vous oublie pas mais je n'ai pas encore tout décortiqué ... Votre message étant très bref, il me faut d'abord développer vos propositions.

Et encore merci à Tous

invite705d0470 · 02/07/2011, 19h18

Pour Amanuensis: En fait, cette méthode est basée sur le fait que $\text{[math]}$ ?
D'où l'étude selon le signe de x, je suppose, avec cas particulier de 110 ?

**Amanuensis** · 02/07/2011, 19h28

Envoyé par Snowey

Pour Amanuensis: En fait, cette méthode est basée sur le fait que $\text{[math]}$ ?

Presque. Changer Z en Z*... Simplement parce que si n entier non nul, $\text{[math]}$

D'où l'étude selon le signe de x, je suppose, avec cas particulier de 110 ?

Non, du signe de 110-x. Le cas particulier x=110 correspondant à x-110=0, pas dans Z*.

invitea3f0770d · 02/07/2011, 20h20

Je viens juste de m'apercevoir de mon énorme erreur dans la rédaction de l'énoncé de mon problème.

Il s'agit de rectifier les bornes de $\text{[math]}$ qui sont les suivantes $\text{[math]}$ .

Encore désolé, je ne sais où j'avais la tête en rédigeant l'énoncé.

Merci d'avance de votre compréhention.

invitea3f0770d · 02/07/2011, 20h39

Envoyé par Amanuensis

Le rapport est entier si x=110

SI x<110, il faut que 1+9x<=110-x, soit 10x<=109, x<10. x pair, 5 cas à tester...

Si x>110, 1+9x<=x-110, 8x<=109, x<14. Incompatibilité...

Franchement, j'ai du mal à comprendre votre raisonnement.

Si $\text{[math]}$ effectivement il est nécessaire d'avoir $\text{[math]}$ .

Mais alors après d'où sort ce $\text{[math]}$ ?

Est-ce par approximation par rapport à $\text{[math]}$ ?

**Amanuensis** · 02/07/2011, 20h43

Envoyé par SanjaClaude

Mais alors après d'où sort ce $\text{[math]}$ ?

Juste de manipulations algébriques élémentaires de formules.

1+9x<=110-x

donc 1+9x+x<=110-x+x par addition de x de chaque côté

soit 1+10x<=110 après simplification

donc 1+10x-1 <= 110-1 par soustraction de 1 de chaque côté

soit 10x <= 109 après simplification.

invite705d0470 · 02/07/2011, 21h33

Oui, autant pour moi

C'est bien le signe de $\text{[math]}$ (et pas juste de $\text{[math]}$ , c'était un mauvais abus de language de ma part) qui est à étudier.
Mais pourquoi $\text{[math]}$ ? Je parlais de $\text{[math]}$ et non pas de $\text{[math]}$ (qui d'ailleurs est un entier naturel ou nul), or $\text{[math]}$ ...

A ce détail près, tout est bon !
Et jolie méthode de Seirios

(j'essaierai d'y penser: changer l'écriture simplifie parfois la vie, même si les inégalités semblent ici suffire)

invitea3f0770d · 03/07/2011, 10h31

Amanuensis Je vous remercie pour cette simplicité de vue effectivement élémentaire qui m'avait complètement fait défaut !!!

Je cherchais vraiment midi à quatorze heures !!!

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