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Comment démontrer que (110-x)/(1+9x) n'est jamais entier pour x entier positif



  1. #1
    SanjaClaude

    Comment démontrer que (110-x)/(1+9x) n'est jamais entier pour x entier positif


    ------

    Grand bonjour à tous

    Je viens ici poser une question qui apparement peut paraître simple, mais qui me pose bien des soucis ,

    Soit la fonction suivante est .

    Comment peut-on démontrer que entier positif, n'admet aucune solution entière ?

    Je tiens à préciser que je ne suis pas un étudiant mais un autodidacte qui cherche autant une méthode d'analyse qu'un résultat !!!

    D'avance, je remercie tous ceux qui voudront bien jeter un coup d'oeil sur le problème.


    -----

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  3. #2
    Amanuensis

    Re : Comment démontrer que (110-x)/(1+9x) n'est jamais entier pour x entier positif

    Le rapport est entier si x=110

    SI x<110, il faut que 1+9x<=110-x, soit 10x<=109, x<10. x pair, 5 cas à tester...

    Si x>110, 1+9x<=x-110, 8x<=109, x<14. Incompatibilité...
    Dernière modification par Amanuensis ; 01/07/2011 à 19h19.

  4. #3
    Tiky

    Re : Comment démontrer que (110-x)/(1+9x) n'est jamais entier pour x entier positif

    Bonjour,

    Ta proposition est fausse. On a f(0) = 110. Il est clair que est strictement décroissante sur .

    On en déduit que .

    Or f est continue sur . L'image d'un intervalle par f est un intervalle (théorème des valeurs intermédiaires). On a même . Donc ta fonction atteint tous les entiers compris entre 0 et 110.

  5. #4
    Seirios

    Re : Comment démontrer que (110-x)/(1+9x) n'est jamais entier pour x entier positif

    Bonsoir,

    On peut écrire ; donc . Or on remarque que 991 est un nombre premier. On trouve finalement que .
    If your method does not solve the problem, change the problem.

  6. #5
    Seirios

    Re : Comment démontrer que (110-x)/(1+9x) n'est jamais entier pour x entier positif

    Tiky, as-tu remarqué que x doit être un entier positif ?
    If your method does not solve the problem, change the problem.

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    Tiky

    Re : Comment démontrer que (110-x)/(1+9x) n'est jamais entier pour x entier positif

    Oups, je n'avais pas vu que x était un entier... quelle idée d'appeler un entier x.
    Donc deux solutions, x = 0 et x = 110.

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  10. #7
    Seirios

    Re : Comment démontrer que (110-x)/(1+9x) n'est jamais entier pour x entier positif

    J'ai effectivement oublié la solution x=0
    If your method does not solve the problem, change the problem.

  11. #8
    Tiky

    Re : Comment démontrer que (110-x)/(1+9x) n'est jamais entier pour x entier positif

    Citation Envoyé par Seirios (Phys2) Voir le message
    J'ai effectivement oublié la solution x=0
    Les questions les plus simples sont celles où on se plante le plus

  12. #9
    SanjaClaude

    Re : Comment démontrer que (110-x)/(1+9x) n'est jamais entier pour x entier positif

    Bonjour à tous,

    Merci, pour vos réponses qui nécéssitent quelques éclaircissements.

    Effectivement, les valeurs triviales de sont 0 et 110.


    Citation Envoyé par Tiky Voir le message
    Oups, je n'avais pas vu que x était un entier... quelle idée d'appeler un entier x.
    Donc deux solutions, x = 0 et x = 110.
    Comment doit-on appeler un entier ?

    D'après vous, votre démonstration tient-elle toujours pour entier et strictement positif ?

  13. #10
    SanjaClaude

    Re : Comment démontrer que (110-x)/(1+9x) n'est jamais entier pour x entier positif

    Citation Envoyé par Seirios (Phys2) Voir le message
    Bonsoir,

    On peut écrire ; donc . Or on remarque que 991 est un nombre premier. On trouve finalement que .
    Bien vu pour 991, et donc votre démonstration repose sur le fait que 991 est un nombre premier.

    Mais qu'en serait-il de la démonstration si le nombre trouvé était suffisament grand pour qu'on ne puisse rapidement prouver qu'il est un nombre premier?
    Bien sûr dans ce cas, il va de soi que 110 serait aussi une autre valeur !

  14. #11
    SanjaClaude

    Re : Comment démontrer que (110-x)/(1+9x) n'est jamais entier pour x entier positif

    Citation Envoyé par Amanuensis Voir le message
    Le rapport est entier si x=110

    SI x<110, il faut que 1+9x<=110-x, soit 10x<=109, x<10. x pair, 5 cas à tester...

    Si x>110, 1+9x<=x-110, 8x<=109, x<14. Incompatibilité...
    Je ne vous oublie pas mais je n'ai pas encore tout décortiqué ... Votre message étant très bref, il me faut d'abord développer vos propositions.

    Et encore merci à Tous

  15. #12
    Snowey

    Re : Comment démontrer que (110-x)/(1+9x) n'est jamais entier pour x entier positif

    Pour Amanuensis: En fait, cette méthode est basée sur le fait que ?
    D'où l'étude selon le signe de x, je suppose, avec cas particulier de 110 ?
    "... I am the master of my fate, I am the captain of my soul." Henley

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  17. #13
    Amanuensis

    Re : Comment démontrer que (110-x)/(1+9x) n'est jamais entier pour x entier positif

    Citation Envoyé par Snowey Voir le message
    Pour Amanuensis: En fait, cette méthode est basée sur le fait que ?
    Presque. Changer Z en Z*... Simplement parce que si n entier non nul,

    D'où l'étude selon le signe de x, je suppose, avec cas particulier de 110 ?
    Non, du signe de 110-x. Le cas particulier x=110 correspondant à x-110=0, pas dans Z*.

  18. #14
    SanjaClaude

    Re : Comment démontrer que (110-x)/(1+9x) n'est jamais entier pour x entier positif

    Je viens juste de m'apercevoir de mon énorme erreur dans la rédaction de l'énoncé de mon problème.

    Il s'agit de rectifier les bornes de qui sont les suivantes .

    Encore désolé, je ne sais où j'avais la tête en rédigeant l'énoncé.

    Merci d'avance de votre compréhention.

  19. #15
    SanjaClaude

    Re : Comment démontrer que (110-x)/(1+9x) n'est jamais entier pour x entier positif

    Citation Envoyé par Amanuensis Voir le message
    Le rapport est entier si x=110

    SI x<110, il faut que 1+9x<=110-x, soit 10x<=109, x<10. x pair, 5 cas à tester...

    Si x>110, 1+9x<=x-110, 8x<=109, x<14. Incompatibilité...
    Franchement, j'ai du mal à comprendre votre raisonnement.

    Si effectivement il est nécessaire d'avoir .

    Mais alors après d'où sort ce ?

    Est-ce par approximation par rapport à ?

  20. #16
    Amanuensis

    Re : Comment démontrer que (110-x)/(1+9x) n'est jamais entier pour x entier positif

    Citation Envoyé par SanjaClaude Voir le message
    Mais alors après d'où sort ce ?
    Juste de manipulations algébriques élémentaires de formules.

    1+9x<=110-x

    donc 1+9x+x<=110-x+x par addition de x de chaque côté

    soit 1+10x<=110 après simplification

    donc 1+10x-1 <= 110-1 par soustraction de 1 de chaque côté

    soit 10x <= 109 après simplification.

  21. #17
    Snowey

    Re : Comment démontrer que (110-x)/(1+9x) n'est jamais entier pour x entier positif

    Oui, autant pour moi
    C'est bien le signe de (et pas juste de , c'était un mauvais abus de language de ma part) qui est à étudier.
    Mais pourquoi ? Je parlais de et non pas de (qui d'ailleurs est un entier naturel ou nul), or ...
    A ce détail près, tout est bon !
    Et jolie méthode de Seirios (j'essaierai d'y penser: changer l'écriture simplifie parfois la vie, même si les inégalités semblent ici suffire)
    "... I am the master of my fate, I am the captain of my soul." Henley

  22. #18
    SanjaClaude

    Re : Comment démontrer que (110-x)/(1+9x) n'est jamais entier pour x entier positif

    Amanuensis Je vous remercie pour cette simplicité de vue effectivement élémentaire qui m'avait complètement fait défaut !!!

    Je cherchais vraiment midi à quatorze heures !!!

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