Démonter que racine carrée de 5 est un nombre irrationnel

[invite221a3a89]

Bonjour, je suis en terminale S, et pourtant, une troisème m'a posé une colle en maths
Elle m'a demandé de prouver que 5 est un nombre irrationnel. De le faire, par une démonstration.
Et j'en suis incapable
Auriez vous une idée?
Je sais ce qu'est une racine, et je sais ce qu'est un nombre irratitonnel.
Donc voilà, merci de votre aide ^^
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[invite6de5f0ac]

Bonjour,

Le truc est classique : si p est un nombre premier, sqrt(p) est irrationnel.

En effet si on avait sqrt(p) = m/n avec m et n entiers naturels, on aurait p = m²/n² et donc m² = p.n². Dans la décomposition en facteurs premiers, m² a un nombre pair de facteurs, et p.n² un nombre impair. Donc ça ne se peut pas...

-- françois

[invite221a3a89]

Bonjour,

Le truc est classique : si p est un nombre premier, sqrt(p) est irrationnel.

Sorry, bien qu'étant en term S, bah.. Euh.. C'est quoi sqrt?

[invite951d3e73]

sqrt --> racine carrée

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite221a3a89]

J'ai pas forcémen saisi ce que fderwelt a dit....

[invite57a1e779]

J'ai pas forcémen saisi ce que fderwelt a dit....

Je traduis :
Si était rationnel, il existerait deux entiers et tels que , donc .

On considère la décomposition en facteurs premiers de et : le nombre premier apparaît avec un exposant pair.

Donc apparaît avec un exposant impair dans la décomposition de et un exposant pair dans celle de : l'égalité est impossible, et est irrationnel.

Le raisonnement fonctionne toujours si l'on remplace par un nombre premier quelconque.

[invité576543]

Pas exactement ce que François a écrit, il a pris le nombre total de facteurs premiers, pas seulement 5 (ou p). Brutal, mais efficace.

Cordialement,

[invite6de5f0ac]

Brutal, mais efficace.

Bin oui, quoi, pourquoi faire dans la dentelle quand on peut y aller au Kärcher ?

-- françois

[invite221a3a89]

Parce que Y'a un idiot qui y comprends rien et faut y aller molo avec lui.
Nan je rigole j'ai compris.
Merci beaucoup. Je passerai moins pour un con grâce à vous

[invitef70f0149]

Bonjour, merci pour votre explication j'ai compris sauf cette partie la
"On considère la décomposition en facteurs premiers de et :5 le nombre premier apparaît avec un exposant pair." je comprends pas pouvez vous m'expliquez svp?

[invite51d17075]

c'est pire que ça.
une racine carrée est soit entière, soit irrationnelle !
ça se demontre !

[invitef70f0149]

serait-il possible de le demontrer par l’absurde? la j'essaie mais je bloc apres avoir eu 5q²=p² je sais plus quoi faire

[invite4492c379]

serait-il possible de le demontrer par l’absurde? la j'essaie mais je bloc apres avoir eu 5q²=p² je sais plus quoi faire

Oui, supposons que soit rationnel. Il existe donc deux entiers non nuls p et q avec pgcd(p,q)=1 tels que
donc
5q²=p²
5 divise donc p², donc 5 divise p. Il existe donc un entier non nul p' tel que p=5p'. Soit
5q²=(5p')²
5q²=25p'²
q²=5p'²
soit 5 divise q, or 5 divise aussi p ce qui est contradictoire avec l'hypothèse pgcd(p,q)=1.

[invitef70f0149]

Merci beaucoup je vois maintenant thanks thanks thanks

[invite8386d242]

es que la racine de 8 et irrationnel ?

[obi76]

Bonjour,

on a . Or, est irrationnel pour les memes raisons qu'au dessus, donc aussi.

[PlaneteF]

Bonjour,

es que la racine de 8 et irrationnel ?

, ... ce qui permet de répondre à ta question.

Cordialement

Edit : Croisement