Un polynôme en cosx

[invite159cf21f]

Bonjour à toutes et à tous,


je suis devant un petit problème que je ne dois pas être bien loin de résoudre mais je crois qu'il me manque quelque chose...

Je dois prouver qu'il existe un polynome P à coeff dans Z tel que :

sin ((n+1)x) = sinx. P_n (cosx)

voilà donc j'ai eu l'idée d'utiliser une formule de trigo:

sin((n+1)x) = sin(nx).cosx + sinx.cos(nx)

et j'ai décider de séparer le problème en deux: pour le deuxième membre (sinx.cos(nx) ) , j'arrive à un bon résultat, je trouve que c'est égal à:

sinx . "somme de p= 0 à la partie entière de n/2 de" (2p parmi n). cos^n-2p . (cos²-1)^p
qui est bien un polynome en cos x (je suis sûr du résultat)

pour le premier membre, j'arrive à :

sinx. "somme de p= 0 à la partie entière de (n-1)/2 de" (2p+1 parmi n) i^2p+1. cos^n-2p . (1-cos²)^p


Voilà, et je suis dis chouette, plus qu'a factoriser par sinx et j'ai ma réponse, le seul problème c'est que pour le premier membre les coefficients sont complexes... Auraisje fais une erreur dans le second membre ? Où est ce qu'il faut changer de méthode pour y arriver ?

Merci d'avance pour votre aide

Pluume
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[gg0]

Par récurrence,

tu avais tout de suite le résultat pour le premier terme.
Sinon, tu as oublié que tu calculais i sin(nx), probablement.

Cordialement.

[invite159cf21f]

bonjour,


Excuse moi, mais je ne vois pas ce que tu veux dire... pourrais tu m'expliquer ?

Parce que ce qui m'arrangerais pour le premier terme, ça serait qu'il soit égal à sinx multiplier par un polynome en cos x à cofficient dans Z, comme ça je porrais factoriser et pouf !


Merci d'avance.

[gg0]

Si tu procèdes par récurrence, sin(nx) = ...

Et on n'a pas ton calcul qui coince, donc je fais seulement un hypothèse sur ce qui a pu se passer. mais je ne peux pas expliquer un calcul qui est seulement dans ta tête et sur ta feuille.

Cordialement.

NB : "ce qui m'arrangerais ..., ça serait ..." ??? ce qui m'arrangerait pour vivre, ça serait de gagner au loto; bien sûr je n'y joue pas, mais ça m'arrangerait.

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Une chose me paraît bizarre : tu développes sin(nx); pourquoi pas directement sin((n+1)x) ???

[invite159cf21f]

je n'arrivais pas à faire la question comme ça et je savais que je pouvais écrire cos(nx) comme un polynôme en cosx, donc je me suis dis que j'allait essayer en développant sin ((n+1) x) comme ça j'avais déjà la moitié du boulot de fait.

Et là je suis très proche du but, il y a simplement un i en trop... je vais mettre mon caclul pour que vous puissiez voir si j'ai fais une bête erreur que je ne vois pas depuis 10 h ce matin ...

[invite4bf147f6]

Bonjour,

Tu peux utilisé les nombres complexe sin(n*x)=Im( exp(inx))=Im((cos(x)+i*sin(x)) ^n), utilise la formule du binome de Newton et les termes en sin(x)^k se simplifient par parité de k grace a cos²(x)+sin²(x)=1.

[gg0]

Dans a+ib, la partie imaginaire est b, pas ib.

Cordialement.

[invite159cf21f]

Donc on appel, Im la partie imaginaire, on a:


sin(nx) = Im( e^inx ) = Im [(e^ix)ⁿ] =Im ( (cosx +isinx)ⁿ) = Im (" somme de k=0 à n de" cos^n-k . (i.sinx)^k


la partie imaginaire de cette somme est :

"somme de k=0 k impair à n de" (k parmi n ) cos^n-k (i.sin)^k

je pose k= 2p+1 et à partir de maintenant je mets "somme" pour somme de p=0 à la partie entière de (n-1)/2
j'ai multiplié la somme par cosx (étant donné que le terme est cosx. sin(nx) )

donc on poursuit... :

ça fait "somme" (2p+1 parmi n) cos^n-2p. i^2p+1. sin^2p+1

= sin . "somme" (2p+1 parmi n) (-1)^p.i . cos^n-2p . (1-cos²)^p



Voilà, c'est simplement le i dans la somme qui me gène ...

Merci pour ton aide

[invite159cf21f]

donc si je me trompe c'est à l'étape où j'exprime la partie imaginaire de ma somme ?

Mais oui, j'ai pas percuter que une partie imaginaire ne peux pas être complexe...

Mais alors quelle serait la partie imaginaire ?

[invite4bf147f6]

Dans l'expression obtenu cela revient a enlevé le i.
Par contre lors du passage de k en p, le cosinus est a la puissance n-k=n-(2p+1)

[invite159cf21f]

Oui donc c'est bien ça l'erreur ? j'ai juste mal pris ma partie imaginaire ? il faut donc pas prendre le i ?

Et nan la puissance du cosinus est bonne, j'ais précisé que j'ais multiplié par cosx la somme, d'où la puissance de n-2p au lieu de n-2p-1

[invite4bf147f6]

Le résultat d'une partie imaginaire est un réel. Ici le terme est Im( i^(2p+1))=Im(i*(-1)^p)=(-1)^p .