Espace geometrique.

[Médiat]

(MiPaMa parle d'objets defini sur , peut on en savoir plus ?) ?

Bonjour,

vous trouverez une toute petite introduction (sur ) au chapitre XIV.8 du document final.pdf : http://forums.futura-sciences.com/ma...forumeurs.html
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[invite86150b1a]

C'est vraiment fascinant tout ça ! L'imagination des gens est sans limite !

[invite47ecce17]

Je reviens sur ces questions, parce que j'en ai (tres) recemment appris beaucoup plus à ce sujet.

En fait il est tout à fait possible de depasser la notion meme d'espace annelé pour faire de la géométrie. Et en fait, on a besoin de le faire (de manière assez drastique) pour résoudre des questions tres importantes de géométrie. Je ne suis pas spécialiste (tres loin s'en faut) de ces questions, mais de ce que j'ai compris, la notion clé derrière tout cela est la notion de representation (d'un certain foncteur).

En fait, il arrive tres souvent qu'on veuille paramétrer de manière naturelle certaines classes d'objets. Par exemple, si on regarde un exemple bébé, on peut paramétrer les automorphismes de groupe de Z, par un autre groupe, nomément Z/2Z. On peut associer à tout element de Z/2Z de manière naturelle un automorphisme de Z (bon cet exemple n'est pas tres bon, car l'identification est totalement evidente). Plus interessant, on peut aussi paramétrer les droites d'un espace vectoriel donné (sur R disons pour simplifier) et on obtient un espace "géométrique" (une variété differentielle) qui est l'espace projectif réel, de dimension 1 de moins que la dimension de l'espace que l'on avait considerer.
On voit que l'ensemble des droites d'un espace vectoriel, a priori un objet purement ensembliste, peut etre muni de manière naturelle d'un structure d'objet géométrique du meme "type" que l'objet de depart que l'on avait regardé (l'ensemble des droites d'un espaces vectoriel, qui est une variété differentielle de manière canonique, est lui aussi une variété differentielle.

Il se fait que l'on peut avoir besoin de faire ca pour des objets beaucoup plus compliqués, et que parfois ces "espaces de modules" (espaces qui paramètrent une certaine classe d'objets donnes) peuvent etre si compliqués qu'il ne peuvent pas etre de manière naturelle, un espace géométrique qui soit un espace annelé. Il faut aller chercher d'autres notions moins "etroites".
Ainsi sont nées les notions de sites et de topos, que je ne comprendre que tres tres tres partiellement. Ces notions là sont plus larges que les notions d'espaces annelés et on peut faire de la géométrie dessus. Cela devient tres catégoriques. Moralement, de ce que j'ai compris c'est que la donnée d'un espace topologique est equivalente a la donnée de la catégorie des faisceaux dessus, de tous les faisceaux (avec quelques restriccitions), et ces catégories de faisceaux sur un espace ont des propriétés bien particulières, ce qu'on nomme topos c'est une catégorie possédant ces propriétés particulières mais ne provenant pas necessairement d'un espace topologique. La notion de site est un cas particulièer de topos definir de manière plus contextualisée.

Tout ceci est bien sur tres joli, et concerne essentiellement de la géométrie fortement non triviale (enfin qui m'est inaccesible en tout cas), mais mes remarques precedentes restent, on (à mon avis) n'en apprendra pas plus sur la façon de calculer la courbure de la sphrere parce que c'est un topos (à mon avis, mais ca a sans doute son interet dans des questions beaucoup plus compliquées).

[0577]

Bonjour,

Ainsi sont nées les notions de sites et de topos, que je ne comprendre que tres tres tres partiellement. Ces notions là sont plus larges que les notions d'espaces annelés et on peut faire de la géométrie dessus. Cela devient tres catégoriques. Moralement, de ce que j'ai compris c'est que la donnée d'un espace topologique est equivalente a la donnée de la catégorie des faisceaux dessus, de tous les faisceaux (avec quelques restriccitions), et ces catégories de faisceaux sur un espace ont des propriétés bien particulières, ce qu'on nomme topos c'est une catégorie possédant ces propriétés particulières mais ne provenant pas necessairement d'un espace topologique. La notion de site est un cas particulièer de topos definir de manière plus contextualisée.

Un site n'est pas un topos. Un site est une généralisation de la catégorie des ouverts d'un espace topologique. De la même façon qu'on a une notion
de faisceau sur un espace topologique, on a une notion de faisceau sur un site. Un topos est une catégorie équivalente à une catégorie de faisceaux
sur un site.

Tout ceci est bien sur tres joli, et concerne essentiellement de la géométrie fortement non triviale (enfin qui m'est inaccesible en tout cas), mais mes remarques precedentes restent, on (à mon avis) n'en apprendra pas plus sur la façon de calculer la courbure de la sphrere parce que c'est un topos (à mon avis, mais ca a sans doute son interet dans des questions beaucoup plus compliquées).

On ne sait pas calculer la courbure d'une sphère si la sphère est seulement un espace topologique. Comme son nom l'indique, un topos
est juste une généralisation de la notion d'espace topologique et donc ne dit rien sur une notion "avancée" comme celle de courbure.
En fait, la notion de topos n'apporte rien si on a déjà de "bons" espaces topologiques ordinaires, elle permet plutôt d'introduire l'"intuition"
topologique dans des situations qui en sont a priori dépourvues.

Sur un espace topologique, on a une notion de faisceau et surtout de cohomologie des faisceaux qui permet de construire des "invariants" de l'espace
considéré.

L'application essentielle du point de vue site/topos est la construction de théories cohomologiques dans des contextes où il n'y a pas de bonne topologie.
La motivation historique est la géométrie algébrique. Soit X un schéma. Il est muni de la topologie de Zariski mais cette topologie est
très grossière en particulier beaucoup de faisceaux ont des groupes de cohomologie triviaux. Problème : construire des topologies plus fines.
En fait, on ne sait pas construire des topologies plus fines mais on sait construire des sites plus fins au-dessus d'un schéma.
L'idée à la fois triviale et géniale est que pour faire de la topologie (au sens de pouvoir parler de faisceaux et de cohomologie des faisceaux),
les ouverts n'ont pas besoin d'être des sous-ensembles de X. Un "ouvert" dans un site est juste un morphisme U->X vérifiant certaines propriétés.
Ensuite, en pratique, la difficulté est d'isoler les sites intéressants i.e. les types de morphismes qui peuvent être "raisonnablement" considérés
comme des ouverts. Sur tout schéma, on peut ainsi considérer les "topologies" de Zariski (topologie "usuelle"), étale, de Nisnevich, cristalline, fppf, fpqc...
et chacune de ces notions de topologie donne une notion de cohomologie.
La cohomologie étale et la cohomologie cristalline fournissent des outils cohomologiques analogues à la cohomologie usuelle des
espaces topologiques "ordinaires" (variétés différentielles...) dans des situations où celle-ci n'a pas de sens a priori (en caractéristique p>0
notamment). Toutes ces notions ont été introduites dans ce but par Grothendieck au début des années 1960
(avec pour corollaire des succès tels que la preuve des conjectures de Weil par Deligne en 1974) et sont depuis des outils standard
notamment en théorie des nombres.

[invite47ecce17]

Merci pour cette réponse tres complete, je n'ai toujours pas bien saisi ce qu'etait un site (mais il faudrait pour cela que je me plonge dans les details techniques et je n'ai pas le temps, ni je pense les prerequis pour le faire en ce moment). Ces choses là me dépassent de toute façon de plusieurs longueurs.

[0577]

Merci pour cette réponse tres complete, je n'ai toujours pas bien saisi ce qu'etait un site (mais il faudrait pour cela que je me plonge dans les details techniques et je n'ai pas le temps, ni je pense les prerequis pour le faire en ce moment).

Un site est ce qu'on obtient lorsqu'on reformule en termes catégoriques la définition d'un espace topologique.

Soit X un espace topologique. On peut lui associer une catégorie C appelée la catégorie des ouverts de X : les objets sont les ouverts de X et les
morphismes sont les inclusions (si U et V sont deux ouverts, Hom(U,V) est l'ensemble vide si U n'est pas inclu dans V et est l'ensemble à un élément
si U est inclu dans V). Les notions typiquement ensemblistes d'union et d'intersection peuvent se reformuler en termes catégoriques
dans C : l'union est le coproduit de C et l'intersection est le produit fibré au-dessus de X (comme je n'ai pas envie de tracer des diagrammes, je ne
rappelle pas la notion de produit fibré mais c'est une notion extrêmement simple. Pour ce qui suit, il suffit d'y penser comme à une intersection).

Un site est la donnée d'une catégorie C admettant des produits fibrés et pour tout objet U de C, d'une notion de recouvrement de U par une famille de
morphismes telle que :
1) l'identité est un recouvrement de U
2) si est un recouvrement de U et si pour tout i,
est un recouvrement de alors est un recouvrement de U.
3) si est un recouvrement de U et si on a un morphisme
alors est un recouvrement de V.

Ces 3 conditions sont tout ce qui a de naturel : 1) ok, 2) est un demande de transitivité : un recouvrement d'un recouvrement est un recouvrement
et 3) dit que la restriction d'un recouvrement est un recouvrement.

La catégorie des ouverts d'un espace topologique est trivialement un site et il est utile de penser n'importe quel site comme étant la
catégorie des ouverts d'un espace topologique même si celui-ci n'existe pas

Ces choses là me dépassent de toute façon de plusieurs longueurs.

Les définitions sont extrêmement élémentaires, encore une fois, il n'y a "presque" rien de plus dans la notion de site que dans la notion d'espace
topologique. La notion de courbure en géométrie différentielle est quelque chose de bien plus "complexe" que la notion d'espace topologique
et donc que la notion de site. Ensuite, pour comprendre pourquoi cette définition n'est pas une généralité vide, il faut étudier des exemples qui eux peuvent être relativement "avancés".

(Métaremarque: les notions les plus "simples", les plus "élémentaires" ne sont souvent historiquement dégagées que lors d'étude de problèmes "sophistiqués" mais une fois qu'ils le sont, on peut les apprendre directement. Les notions de sites/topos peuvent sembler être compliquées du fait de leur naissance dans un cadre "avancé" de géométrie algébrique mais penser cela est analogue à penser que la notion d'espace vectoriel est compliquée parce que sa naissance est liée au développement de l'analyse fonctionnelle à la fin du 19e siècle. Mais évidemment, il faut souvent retourner à la motivation
historique pour vraiment comprendre l'intérêt de la notion).

[invite179e6258]

(Métaremarque: les notions les plus "simples", les plus "élémentaires" ne sont souvent historiquement dégagées que lors d'étude de problèmes "sophistiqués" mais une fois qu'ils le sont, on peut les apprendre directement.

ça me fait penser que quand on s'intéresse tard à la théorie des catégories (dans mon cas j'étais déjà en thèse) c'est très difficile de ne pas penser aux catégories qu'on connaît bien, comme les groupes ou les espaces vectoriels. Alors qu'en fait les objets n'ont pas à être des ensembles et les flèches n'ont pas à être des applications. Et je me suis souvent demandé si ce serait possible d'apprendre la théorie des catégories à des enfants qui n'auraient jamais entendu parler d'ensembles et qui pourraient jouer à manipuler les diagrammes sans penser applications (quoique je devine qu'on n'irait pas très loin).

[invite47ecce17]

Un site est ce qu'on obtient lorsqu'on reformule en termes catégoriques la définition d'un espace topologique.

Soit X un espace topologique[(...)La catégorie des ouverts d'un espace topologique est trivialement un site et il est utile de penser n'importe quel site comme étant la
catégorie des ouverts d'un espace topologique même si celui-ci n'existe pas

Merci, c'est tres clair.

Les définitions sont extrêmement élémentaires, encore une fois, il n'y a "presque" rien de plus dans la notion de site que dans la notion d'espace
topologique. La notion de courbure en géométrie différentielle est quelque chose de bien plus "complexe" que la notion d'espace topologique
et donc que la notion de site. Ensuite, pour comprendre pourquoi cette définition n'est pas une généralité vide, il faut étudier des exemples qui eux peuvent être relativement "avancés".

Vous avez raison, en fait je disais avancé parce qu'effectivement les exemples que l'on m'a présenté pour justifier la notion etait pour moi trop avancés. Je n'ai qu'un bagage (somme toute modeste) en géométrie complexe, et je ne maitrise pas du tout meme le B-A-Ba de la géométrie algébrique, donc je ne peux veritablement comprendre l'interet du site étale (et je crois que c'est le plus simple), meme si je "sais" à quoi il sert (donner des bons groupes de cohomologie sur des espaces trop pauvres).
Mais c'est vrai qu'en soi, c'est simple.

Du coup je comprend bien mieux egalement la notion de topos, puisque la notion de (pre)-faisceau sur un site s'ecrit toute seule à partir de vos definitions.

Finalement je vais pouvoir dire que je comprend un ptit bout de SGA, je vais pouvoir faire la maligne à la machine à café

[0577]

Du coup je comprend bien mieux egalement la notion de topos, puisque la notion de (pre)-faisceau sur un site s'ecrit toute seule à partir de vos definitions.

oui ! (la notion de préfaisceau a un sens sur toute catégorie, c'est juste un synonyme de foncteur contravariant mais pour la notion de faisceau, il faut
une notion de "localité", ce qui est précisément donné par une structure de site sur une catégorie).

[volkukan]

J'ai rarement vue quelque chose d'aussi mal expliquer.
D'abord vaut mieux commencer par cité des références puis d'essayer de vulgariser.
Ma référence en matière de géométrie expliquer au débutant est daniel Perrin. Ce dernier à fait un traiter qui parle de géométrie projectif, euclidien et non euclidien accessible gratuitement sur internet. ça c'est de la géométrie!

Ensuite vient la géométrie dite différentielle, complexe ou algébrique. Sa c'est autre chose, pour commencer vaut mieux suivre les traces de felix Klein.

Pour lui il n'y a pas de géométrie mais des théorèmes de géométries!!!!
Donc la question est comment construit-on un théorème de géométrie est la réponses est simple. Il suffit de prendre une figure, d'isoler des invariants. Ensuite vient le théorème qui est une relation entre les invariants.

LA QUESTION EST DONC : comment construire des invariants géométrique?????

LA REPONSE : C'est au moyen d'un groupe!!!

COMMENT????

Le groupe va àgir sur un ensemble de figure, ainsi un espace est constitué d'un ensemble de figure (carré, droite, droite perpendiculaire etc...) L'action du groupe vise à amener une figure vers une autre par une transformation. A partir de là il est possible de réorganiser l'ensemble de figure (créer les orbites). Une fois organisé en exprime la particularités de chaque classe par une propriété invariant pour chaque élément de la classe, ce sont les invariants.
Enfin en exprime des relations entre les invariants est paff on obtient des théorèmes.
Cette méthode peut être rendus automatique dans certain cas comme la géométrie projectif ainsi on connait potentiellement absolument tout les théorèmes possibles et imaginable grâce au travail de Hilbert sur les invariants.

Ainsi la géométrie à arrêter d’intéresser les mathématiciens puisque chaque théorème n'est que la traduction d'une relation bla bla bla c'est un classique....

Au début du siècle le niveau est monter d'un cran, parmi les transformation on s’intéresse à ceux qui transforme radicalement l'objet de départ (carré -> cercle -> bisounours)
Puis on cherche ce qui reste invariant, cela donne lieu à l'étude topologique d'une figure. Dans la mesure ou absolument tout se modifie par une transformation continue, la topologie ne peut s’intéresser à des chose métrique mais se concentre sur les relation entre les éléments d'une figure qui demeure invariante.

Pour cela il a fallut créer les propriétés qui demeurent invariants c'est là que débarque les notion d'ouvert, fermer etc... inventer de toutes pièce comme concept invariant par transformation continue. Puis viendront des invariants de nature algébrique comme les groupes etc.... que l'on étudie par de la cohomologie (l'art d'exporter une propriété topologique dans un univers algébrique)

Enfin vient les variétés différentielle, algébrique, complexe etc.... C'est de la géométrie qui sont les fruits d'une résolution d'équation de type différentielle, algébrique etc...
La méthode globale consiste à donner à ces solution une structure de topologie puis de les étudier au moyen de fonction de différente nature et qui ont tous la particularité d'avoir une structure d'anneaux d'où le concept d'espace annelé, l'association d'un anneau (ensemble de fonction) à une portion de l'espace se fait via un foncteur nommé faisceau. C'est l'étude des faisceaux qui renseigne les propriétés de l'espace. C'est donc de la cohomologie de faisceau..... et pafffff! sa fait mal

Donc soit tu fais de la géométrie à l'ancienne soit tu pleure à l'idée d'étudier seul la cohomologie des faisceaux.
Ha oui, si tu veux ta la géométrie de Riemann (étude de la métrique d'un espace, la métrique est l'outil qui te calcul le plus court chemin entre deux points)mais bon cette manière de faire tans à céder la place à la cohomologie des faisceaux.

[Médiat]

Bonjour,

J'ai rarement vue quelque chose d'aussi mal expliquer.

Sympatique pour celui qui s'est cassé la tête à expliquer ; avec un "Bonjour" et sans faute d'orthographe, cela aurait été un tout petit peu mieux.

[invite47ecce17]

Puis c'est surtout du grand n'importe quoi... Quand on compare à la qualité de la réponse de 0577...