Espace geometrique.

[Oss118]

Bonjour,
Quelle est la définition la plus générale possible d'un espace géométrique ? J'ai rencontré une telle définition dans un livre, mais je voudrais savoir laquelle est la plus générale ?
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[gg0]

C'est un ensemble sur lequel on fait de la géométrie.

Je ne pense pas qu'il puisse y avoir plus général, sauf à utiliser la présentation "catégorie" des maths.

Cordialement.

[Oss118]

Oui, mais je cherchais plutôt une définition formelle et rigoureuse.

[gg0]

Mais il n'y en a pas, l'expression "espace géométrique" est du français courant, pas un nom d'objet mathématique.

Par contre, en géométrie euclidienne, on parle de "l'espace", qui correspond à une axiomatique bien précise, ou, si on utilise l'algèbre linéaire pour définir la géométrie, à un espace euclidien de dimension 3. mais le plan est aussi un espace géométrique, et bien d'autres objets sur lesquels on fait de la géométrie. D'autant qu'il existe plusieurs géométries.

Donc si tu es dans une situation particulière, il y a peut-être un contexte qui fait que ces deux mots, espace géométrique, ont localement une signification précise. Mais de façon générale, non.

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Mocassins]

@Oss118: Peux-tu nous faire part de la définition en question?

Sinon il me semble que pour faire de la géométrie il suffit d'avoir des points qu'on peut ordonner et des droites qui peuvent les contenir.
Cela m'étonnerait qu'on n'ait aucun cadre pour interpréter ces quelques notions.

[Amanuensis]

Même parler de droite est trop restrictif. La géométrie projective n'est pas métrique, seulement des points et des lignes, et quelques axiomes. Le plan de Fano n'a que 7 points et 7 lignes, et est le plus petit exemple d'un plan respectant les axiomes de la géométrie projective, et on parle quand même de géométrie pour ce plan.

Les notions communes à tout ce qu'on appelle "géométrie" semblent être cela: des points et des lignes, les lignes étant composées de points et les lignes s'intersectant en des points (du moins à partir de la dimension 2).

[Oss118]

La definition que j'ai trouve est la suivante.

Un espace geometrique est un couple E,O tel que E soit un espace topologique et O un faisceau d'anneaux sur E tel que les germes O_x soient locaux pour tout x de E.

Il est precise que cette definition englobe le contexte topologique, differentiel, analytique complexe et algebrique. Il est ensuite donne quelques exemples.

[Oss118]

Re-Bonjour;
Personne ne sait donc s'il existe des espaces étudiés en géométrie qui ne rentrent pas dans le cadre de la définition que j'ai donné ? J'ai trouvé cette définition dans le livre "Groupe algébrique" de P.Gabriel et M.Demazure.

En fait il est dit que cette définition englobe les autres, mais déjà je ne vois pas pourquoi c'est le cas. Comment on peut "décliner" cette notion pour retrouver les notions habituelles d'espace topologique etc.

Autre question au vu des réponses données : quelle différence faites vous entre lignes et droites ? Je croyais que l'anglais lines était la traduction de droites ?

Merci beaucoup de vos réponses et désolé de ma réponse tardive.

[gg0]

Pour ta question générale, je ne sais pas. Je suis un peu surpris que la topologie soit notion première.
Pour la différence entre droite et ligne, c'est du français courant. Le fait qu'on dise line en anglais ne change pas le sens des mots du français. Le mot ligne seul désigne un dessin fait d'un seul tracé, donc recouvre les notions mathématiques de courbe, de graphe, etc. je n'ai pas trop compris son usage par Ammanuensis, sauf peut-être pour dire qu'il ne s'agit pas des droites habituelles de la géométrie euclidienne.

Cordialement.

[Amanuensis]

J'ai vu un exemple avec comme topologie la discrète... Pas vraiment une contrainte d'avoir une topologie!

Quand à ligne vs. droite, le mot droite a souvent une connotation métrique (opposition avec "courbe"), qu'on évite avec ligne.

[gg0]

Ok Amanuensis (avec un seul m, désolé).

[Médiat]

Pour la différence entre droite et ligne, c'est du français courant.

Diriez-vous "Les grands cercles sont les lignes de la géométrie sphérique", ou "Les grands cercles sont les droites de la géométrie sphérique" ?

[toothpick-charlie]

Félix Klein avait proposé une approche très générale de la géométrie avec son programme d'Erlangen. En gros pour Klein une géométrie est la donnée d'un ensemble et d'un groupe agissant sur cet ensemble. Je ne sais pas si la définition de Gabriel & Demazure englobe celle de Klein.

[Amanuensis]

Pour la question générale je ne comprends pas grand chose au langage des faisceaux, mais en gros on a un espace topologique avec des anneaux de fonctions de cet espace vers quelque chose (R, C, ? un corps?). Deux fonctions ont le même germe en x s'il existe un voisinage de x où les fonctions coïncident (pour la topologie discrète cela se limite à avoir la même valeur en x). À chaque point on a ainsi un ensemble de germes ; il est local si toutes les propriétés d'une fonction en x sont des propriétés d'un germe.

Par exemple en géométrie différentielle réelle les fonctions seraient celle vers R (champ scalaire), et un germe capture la valeur et le gradient en x des fonctions dont c'est le germe.

Ce qui m'échappe (faute d'exemple clair) c'est qu'il soit toujours possible de "capturer" la structure d'une géométrie au sens usuel par un ensemble de fonctions vers un quelque chose.

À ce que je comprends, c'est ce que dit la définition: on peut capturer toute "structure" qu'on appelle "géométrique" par un espace et un ensemble de fonctions dessus ayant certaines propriétés générales (celles de la définition, anneau, localité,...) plus des propriétés particulières capturant la structure.

Le tout sous toute réserve, je n'ai rencontré que très indirectement ces notions, en périphérie de la géométrie différentielle.

Les explications du Wiki anglais (sheaf, germ) sont bien meilleures que celle du francophone...

[toothpick-charlie]

. À chaque point on a ainsi un ensemble de germes ; il est local si toutes les propriétés d'une fonction en x sont des propriétés d'un germe.

en fait on a un anneau de germes, c'est cet anneau qui est local (c'est une notion algébrique).

[Médiat]

On pourra lire avec intérêt le fil suivant : http://forums.futura-sciences.com/ma...ulgarisee.html

[Amanuensis]

en fait on a un anneau de germes, c'est cet anneau qui est local (c'est une notion algébrique).

Comme vous paraissez bien au courant, de maîtriser suffisamment le sujet pour intervenir comme vous le faites, pourriez-vous répondre clairement à la question posée? Ma réponse n'était qu'une tentative de quelqu'un ne maîtrisant pas le sujet, et je serais fort aise qu'elle soit supprimée au profit d'une réponse éclairée.

[Amanuensis]

On pourra lire avec intérêt le fil suivant : http://forums.futura-sciences.com/ma...ulgarisee.html

C'était un cas de "rencontre très indirecte de ces notions, en périphérie de la géométrie différentielle"!

Mais la discussion en question ne me semble pas éclairer complètement l'idée que tout "espace géométrique" à un sens "vulgaire", ce qu'on accepte naturellement de voir comme de la "géométrie", se décrive selon la définition donnée.

Pour reprendre l'exemple d'une "géométrie" assez triviale, le plan de Fano (qui pour moi est bien une "géométrie"), je serais intéressé par une description par des fonctions qui "capturerait" la structure en ligne. Je ne doute pas qu'elle existe ; c'est juste que je ne la vois pas, par manque d'imagination si ce n'est de pratique.

[toothpick-charlie]

Comme vous paraissez bien au courant, de maîtriser suffisamment le sujet pour intervenir comme vous le faites, pourriez-vous répondre clairement à la question posée? Ma réponse n'était qu'une tentative de quelqu'un ne maîtrisant pas le sujet, et je serais fort aise qu'elle soit supprimée au profit d'une réponse éclairée.

je ne maîtrise pas bien le sujet non plus. C'est aux frontières de mes connaissances en maths. Ce que je sais je l'ai appris dans l'excellent livre de Michel Demazure : Catastrophes et Bifurcations (Ellipses), que j'ai lu il y a trop d'années pour en avoir autre chose que de vagues souvenirs.

[gg0]

Diriez-vous "Les grands cercles sont les lignes de la géométrie sphérique", ou "Les grands cercles sont les droites de la géométrie sphérique" ?

Bien évidemment, en français courant, on fait la différence. jJe ne vois pas l'emploi du mot ligne dans ce cadre. par contre, le mot droites me paraît correct.
En maths, on utilise lignes pour "lignes de niveau", et sans doute à d'autres occasions. mais je n'en connais pas d'usage formel. C'est quoi, en maths "une ligne" ?

Cordialement.

[Amanuensis]

En maths, on utilise lignes pour "lignes de niveau", et sans doute à d'autres occasions. mais je n'en connais pas d'usage formel. C'est quoi, en maths "une ligne" ?

Je ne sais pas. Mais je sais ce que cela m'évoque. Une image "continue" dans un "espace géométrique" d'un intervalle de Z, ou de Q, ou de R, ou autre selon la topologie locale. (Pas rigoureux, je ne parle que de que cela m'évoque.)

En géo diff, "chemin" est un sous-cas de "ligne", image continue de [0,1] dans la variété.

Dans une variété sans connexion (et métrique -> connexion de Lévi-Civita) on ne parle jamais de droite, à ce qu'il me semble.

[Amanuensis]

Dans une variété sans connexion (et métrique -> connexion de Lévi-Civita) on ne parle jamais de droite, à ce qu'il me semble.

J'aurais dû préciser "variété différentielle".

Et ajouter : Réciproquement avec une connexion on peut employer "droite" pour une géodésique (une ligne qui respecte l'équation des géodésiques). L'exemple proposé des grands cercles sur une sphère munie de la métrique qui va bien entre dans ce cadre.

[gg0]

Ok, Amanuensis,

tu emploies le mot ligne là où je mettrais spontanément le mot "courbe".
Je n'étais pas particulièrement sur le terrain "géométrie différentielle", plus sur les idées du programme d'Erlangen.

Cordialement.

[Amanuensis]

tu emploies le mot ligne là où je mettrais spontanément le mot "courbe".

C'est une possibilité. Mais par exemple dans un domaine bien particulier qui m'intéresse, l'espace-temps, cela est difficile de parler de "courbe d'Univers" en lieu et place de "ligne d'Univers", pour parler des "courbes" (lignes) de genre temps (notion qu'on peut définir rigoureusement).

Peut-être juste une question d'habitude, mais si je peux remplacer "courbe" par "ligne" dans tous les usages, je ne pourrais pas l'inverse.

Comme toute question de vocabulaire ce n'est qu'une question de convention (quand on veut être rigoureux), ou d'usage (plus généralement).

[gg0]

Effectivement,

je connais diverses utilisations de ligne, mais pas seul. Alors que le mot courbe s'emploie seul. Et comme au départ, c'était le mot ligne seul, je ne suis pas allé plus loin. Dans ligne d'univers comme dans ligne de niveau, c'est le sens commun du français qui est utilisé pour donner une expression qu'on peut définir ensuite.

Cordialement.

[invite02232301]

Bonjour,
En fait, telle qu'elle la question d'origine n'a pas véritablement de réponse.

Si on specifie la question en "Est ce que les espaces ou l'on peut faire de la géométrie sont les espaces géométriques (au sens de Gabriel Demazure?", alors on peut dire plusieurs choses.


Il y a des concepts compliqués de géométrie qui ne doivent pas rentrer dans ce cadre (je pense par exemple à des choses sur ou ce genre de choses auxquelles je ne connais de toute façon rien et dont je ne peux donc pas parler de façon circonstanciée).

Est ce que la notion d'espace annelé (c'est la définition de Gabriel et Demazure) est une bonne notion pour parler de géométrie. Assurement. Mais il est illusoire de croire que l'on peut faire un géométrie totalement generale sur les espaces annelés qui redonnerait par specialisation la geométrie differentielle ou la geometrie analytique complexe etc... Pour plein de raisons, par exemple

1/ Les differentes "géométries" ne s'interessent pas aux meme questions, et souvent les objets d'interets d'une géométrie ne sont meme pas definissables dans une autre géométrie. Il n'y a pas de façon à ma conaissance de définir des notions basiques de geométrie differentielle (métrique, connexion, courbure) dans le cadre des espace annelés, et pour cause, la géomtrie differentielle est une geométrie des objets qui localement ressemblent à R^n, ce qui n'est pas le cas dans la notion d'espace annelé generale.
2/ En general on rajoute tout un tas de structures additionnels sur les objets que l'on veut etudier, et ce sont eux qui specifient la géométrie. Ca n'est pas le cas en geométrie complexe, mais en geometrie differentielle (là encore parce que les preoccupations sont differentes), si on ne s'interesse qu'a la variété nue, ben... on fait de la topologie differentielle et pas vraiment de la géométrie. Les géométres s'interessent en general à des objets plus rigides. Classes de métriques, flots, existence de courbures prescrites etc...

Donc en résumé, oui, derrière beaucoup de differentes theories géométriques, il y a a la base des objets qui sont des espaces annelés, mais en fonction de la theorie geomtrique en question, ces espaces annelés ne seront pas les memes (essentiellement leur modèles locaux seront differents), et en plus, on peut leur rajouter de la structure additionnelle, ce qui est par exemple le cas en geomtrie diff, riemannienne ou symplectique, mais ce qui n'est pas le cas en geometrie complexe (les objets sont plus rigides).

Pour les espace annelés en general, le faisceau d'anneau, n'a pas besoin d'etre un faisceau de fonctions, c'est juste une assignation U->O(U) (où U est un ouvert de X et O(U) un anneau a priori quelconque) qui respectent des propriétés de compatibilité. On demande que la fibre soit locale (qui est simplement le fait que l'anneau des germes contienne un unique idéal maximal) parce que c'est les situations que l'on observe justement dans les espaces usuels de la geometrie usuelle, le fait que l'anneau soit local s'interprete comme le fait que les fonctions non nulles en le point considéré sont (localement) inversibles.
Pour une variété topologique, son faisceau est celui des fonctions continues et effectivement une fonction non nulle en un point est localement inversible etc...

On peut faire toute la géométrie differentielle en ne parlant pas du tout d'atlas et en disant un variété differentielle est un espace annelé verifiant ceci ceci et cela, c'est vrai... mais on fait quand meme une specialisation des objets, et au final les objets qu'on obtient sont les memes.

Pour le plan projectif sur F_2, il est naturellement muni d'une structure de variété algébrique (projective) et à ce titre possède un faisceau (dit structural). Mais comme je ne sais pas ce que vous voulez dire par "capturer" la géométrie de qqch, je ne peux repondre. Ce qui est sur, c'est que la donné de ce faisceau (et de l'espace topologique sur lequel il vit) est suffisant pour etudier cet espace d'un point de vue de la geometrie algébrique (et par exemple calculer son genre, sa cohomologie, son fibré tangent etc...).

[Amanuensis]

Juste pour souhaiter la bienvenue sur le forum, comme je le fais quand je réponds à un message n°1

Par "capturer" la géométrie de qqch, j'entends l'idée assez floue que de la seule donnée de la topologie et du faisceau d'anneaux se dérivent toute propriété pertinente sur la géométrie de qqch.

[invite02232301]

Merci pour l'accueil

Je vais faire une réponse de normand, cela depend de ce que vous entendez par propriété pertinente sur la géométrie de qqch.

Si l'on prend un exemple peut etre plus simple, comme la sphere muni de sa structure naturelle de variété differentielle. Vous avez un espace annelé. L'espace etant la sphere, et le faisceau celui qui a U associe (muni des restrictions au sens habituel). Est ce que cela suffit a calculer la longueur d'un grand cercle? Non. Est ce que ca suffit a définir la caractéristique d'Euler de la sphere? Oui. Est ce que cela suffit a definir le fibré tangent à la sphère? Aussi.

La plupart des geométres vous diront (à raison à mon avis) que la caracteristique d'Euler est une propriété topologique et que la longueur des grands cercles est une carracteristique géométrique, quant au fibré tangent c'est certainement un objet géométrique. Donc le faisceau ne "capture" pas tout l'aspect géométrique.

Neanmois, tout comme on peut rajouter la notion de métrique sur une variété diff définie par un atlas, et pouvoir calculer (ou simplement définir) la longueur d'un grand cercle, on peut rajouter une certaine notion sur une variété diff, définie comme espace annelé pour pouvoir définir (et calculer) la longueur d'une courbe tracée dessus.

Je pense que le plus simple, c'est de se convaincre que la notion de variété (dans plein de contextes où elle est déclinée) est effectivement une notion englobée par le concept d'espace localement annelé, mais que la géométrie que l'on fait dessus, va dependre de la structure additionnelle qu'on impose du fait de la situation et du contexte (sachant qu'aucun ajout permet deja de parler de carracteristique geométrique importantes).

[Médiat]

Bonsoir : un vrai plaisir de vous lire ...

[Oss118]

Merci à tous pour vos réponses.
Si j'ai bien compris les massages d'Amanuensis #14 et ceux de MiPaMa #26, la notion d'espace géométrique est une sorte de substrat géométrico-topologique général, qui enveloppe une classe large d'espaces intervenant dans différents contextes géométriques. Néanmoins cette définition n'est pas suffisante pour capturer toute la richesse géométrique d'une situation, il faut parfois ajouter de la structure "additionnelle".

J'aurai encore deux questions, y a t il un cadre encore plus riche ? Qui permettrait d'englober encore les espaces qui semblent échapper à ce cadre (MiPaMa parle d'objets defini sur , peut on en savoir plus ?) ?

Pourrais je aussi avoir un exemple de faisceau sur un espace topologique, qui en fasse un espace géométrique mais qui ne soit pas un faisceau de fonctions ?

J'ai mis longtemps à répondre à cause de la rentrée, mais j'essaierai d’être plus prompt à l'avenir !