géométrie(2)erreur rectifié.

[Argon39]

Bonsoir tout d'abord je tien à m'excusé pour avoir posté un message dans lequel il y avait plusieurs exercice(erreur),et j'ai posté ce dernier message parce que on m'a donné exercice de maths,et c'est celui -cio,i,j,k)est un repère orthonormé de l'espace et on me demande de déterminé les coordonnées du projeté orthogonal d'un point A(3,-1,2);dans un repère (o,i,j,k),sur une droite d'équation:
D: x-2y=0 et y+z=0 et moi j'ai essayé de résoudre ce système et ça m'a donné y=-z;x+2z=0;2y=x;-2z=x donc pour moi les solutions sont(x,2y,-2z) donc par conséquent les coordonnées du projeté sont(1*3,2*-1,-2*2)=(3,-2,-4).mais je ne sais pas si ce que j'ai fais est bon.
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[invite75a796c1]

Bonjour,

auriez vous oublié de diviser par la norme ?

(0,0,0) appartient à D ;
avec x-2y=0 et y+z=0 , pour avoir un second point, prenons x=2 , on obtient y=1 et z=-1 d'où le vecteur ( 2 , 1,-1 )
on peut passer par le produit scalaire :







sous réserve d'erreur matinale

ps : comment écrit on norme en latex ? j'ai essayé \left\Vert\vec{u}\right\Vert mais rien à faire

[invitec9d3e4ec]

Bonjour,

ps : comment écrit on norme en latex ? j'ai essayé \left\Vert\vec{u}\right\Vert mais rien à faire

=> \left\| \vec{u} \right\| ce qui donne :
(Le | s'obtient en appuyant sur Alt Gr + 6)

Cordialement

[invitec9d3e4ec]

Re (et pardon pour le double-post)

D: x-2y=0 et y+z=0 et moi j'ai essayé de résoudre ce système et ça m'a donné y=-z;x+2z=0;2y=x;-2z=x donc pour moi les solutions sont(x,2y,-2z) donc par conséquent les coordonnées du projeté sont(1*3,2*(-1),-2*2)=(3,-2,-4).mais je ne sais pas si ce que j'ai fais est bon.

Je pense que cette démarche est fausse : ton point (3;-2;-4) n'appartient pas à la droite (D) : x - 2y = 3 - 2×(-2) = 7 et non 0, et y+z = -2 + (-4) =-6 et non 0.
Comme 2y=x et -2z=x, (x;2y;-2z) ne serait rien d'autre que (x;x;x). Il vaut mieux essayer d'exprimer les trois variables en fonction d'une seule comme (x ; x/2 ; -x/2) et dans ce cas, vous pourrez obtenir les coordonnées de n'importe quel point de la droite (D).

@mike-p : La démarche me semble juste. Je vérifie simplement :
et donc H appartient bien à (D).


Ce n'est pas égal à 0 ... Ben, où c'est moi qui me suis trompé ou les coordonnées de H ne sont pas les bonnes

Edit : Non, c'est moi qui me suis trompé (en prenant 3 ; 1 ; -1 au lieu de 3 ; -1 et 2, désolé)

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitec9d3e4ec]

Je recommence ... (et c'est qu'il faut calculer (mal réveillé ))

ben, différent de 0 encore ...

[invitec9d3e4ec]

(et désolé encore pour ce message supplémentaire, mais c'est le dernier ...)
J'ai trouvé la réponse en résolvant une équation de degré 2 :
Soit H(x ; x/2 ; -x/2) le point de la droite (D) recherché, avec x différent de 0 (car sinon )
On a alors : et
Il faut que soit : (3-x)x + (-1 - x/2)x/2 + (2 + x/2)(-x/2) = 0
3x - x² - x/2 - x²/4 - x - x²/4 = 0
3x/2 - 3x²/2 = 0
x - x² = 0
x(1-x) = 0 Donc x=0 (exclu) ou x=1, d'où x=1. Le point H a alors pour coordonnées (1 ; 1/2 ; -1/2).

[invitec9d3e4ec]

(Oups : EDIT : si un modérateur pouvait supprimer mon dernier message, pas fait gaffe que j'ai donné la réponse alors que Argon39 devrait la trouver par lui-même, bien désolé : Je donnerais alors juste l'idée de cette dernière méthode. Cordialement.)

[Argon39]

Ce n'est pas grave gondebaud,je ne vais pas regarder ton dernier message.

[invitec9d3e4ec]

Re-bonjour,

Boh, de toute façon c'est fait, mais comme tu essaies de trouver une méthode (qui est le plus important), ben tu fais comme tu veux. (mais attention, rien ne dit que je ne me sois pas encore trompé une fois de plus ). J'étais disons "dans le bain" de cet exercice et intéressé/préoccupé à me rappeler des méthodes possibles pour résoudre ce problème.

Sinon, on peut faire autrement : En considérant le plan orthogonal à la droite (D) passant par A, puis en calculant le point d'intersection H de ce plan avec la droite (D).
L'équation d'un plan dans l'espace est facile à déterminer lorsqu'on connaît les coordonnées d'un vecteur normal à ce plan. Et justement, mike-p en a trouvé un.
Si un vecteur (a;b;c) est normal à un plan (P), une équation de ce plan est alors ax+by+cz = k (k étant à définir, il faudra se servir des coordonnées d'un point appartenant à ce plan).
Une fois cette équation de plan déterminée, il n'y a plus qu'à calculer les coordonnées du point H d'intersection avec la droite (D) (en faisant intervenir les équations de cette dernière).
Je viens de le faire, et ça n'a pas posé de problème (et j'ai même trouvé ça plus simple).

Cordialement.

[invite75a796c1]

=> \left\| \vec{u} \right\| ce qui donne :

hello !
merci ! j'avais zappé l'anti slash de la barre verticale.

[Argon39]

Oui c'est la méthode qui compte.

[Argon39]

C'est bizzare,parce que quand j'ai cherché les coordonnées de H en faisant AH*U= 0 je trouve que H=(3,0,3) avec U vecteur directeur "U(2,1,-1).

[invitec9d3e4ec]

Bonjour,
Comment as-tu exprimé les coordonnées de pour ce calcul ?
Cordialement.

[Argon39]

Bonsoir alors AH(xh-xa,ya-yh,za-zh) avec xh=xa=3 et yh=0. ensuite ça me donne:0*2+1+1+(zh-2)*-1=0
1-zh+2=0 donc zh=3,d'ou H(3,0,3).

[invitec9d3e4ec]

hmm, pas d'accord : pourquoi xH=3 et yH=0 ?
Sinon, la méthode consiste d'abord à exprimer xH ; yH et zH en fonction d'une seule, par exemple xH (ou x pour faire plus simple)(cf équations de la droite).

[Argon39]

Ok je vois.