exo d'arithmétique

[invite7a12f04e]

Bonjour, on considère Z(w)=x+ i sqrt(2)y, x,y appartenant à Z. On note i sqrt(2)=w. On considère de plus l'equation a^2 + 2=b^3 dans Z. Et on suppose qu'il existe une solution(a,b). La première question est de montrer qu il existe m appartenant a { 0,1,2,3} tel que: (x+w) + (x-w)=( w^m). Sachant que j ai au préalable montre que cet anneau etait principal. Pour l instant j ai dit que si u divise x+w et x- w il divise 2w donc il divise w^3. J ai montré précédemment que w est irréductible donc nécessairement u=1 ou w/u. Je suis bloque la car je n arrive pas à montrer que si u=kw alors k= 1, w ou w^2 et je ne vois pas comment utiliser le fait que x est solution de l équation donnée. Merci d' avance
-----

[invitec9d3e4ec]

Bonsoir,

Pardonnez-moi, mais j'ai du mal à comprendre votre énoncé :

on considère Z(w)=x+ i sqrt(2)y, x,y appartenant à Z. On note i sqrt(2)=w

Donc Z(w) = x + iwy ; x et y étant fixés ? C'est alors curieux que l'on fixe la valeur de w seulement à i sqrt(2) (une sorte de fonction définie sur un nombre ...).
Z : ensemble des nombres entiers relatifs ou un ensemble défini par le biais de cette fonction de même nom ou ... ?

On considère de plus l'equation a^2 + 2=b^3 dans Z. Et on suppose qu'il existe une solution(a,b).

Si Z est l'ensemble des nombres entiers relatifs, cette solution existe (suffit de tester quelques valeurs entières simples), donc je comprends que Z n'est pas ici cet ensemble classique (car sinon, pourquoi le supposer ?).

(x+w) + (x-w)=( w^m)

Ecrit comme ça, on comprends que l'on est bien dans une structure particulière mais je ne vois pas laquelle exactement...
L'ensemble Z de départ, donc ? Dans ce cas, ne serait-ce pas par exemple l'ensemble des nombres z = x + wyi dans C (espace complexe) avec w = i sqrt(2) ; x et y étant des entiers relatifs (au pif) ? (si c'est ça, la notation Z(w) n'a alors aucun sens).

Cordialement.

[invite7a12f04e]

Z(w) est l ensemble des nombres s'écrivant x+ wy avec x et y des entiers relatifs. Le fait qu'il existe des solutions n'empêche pas de supposer qu'il en existe . La notation avec les parenthèses correspond aux idéaux engendres, j aurais du le préciser

[invite7a12f04e]

On suppose ça pour arriver a une condition nécessaire

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitec9d3e4ec]

Edit : x+ wy et non x + iwy (erreur de ma part :/)

Ah merci, oui c'est plus clair (et la notation Z(w) définit en fait un ensemble suivant la valeur de w (w fixé ici à i×sqrt(2), je comprends mieux (je cherchais intuitivement quelque chose comme Z(x;y) à la place)).
Pour la supposition, ma remarque était juste faite pour deviner que l'on n'était pas dans l'ensemble classique des nombres entiers relatifs, mais je suis bien d'accord avec vous.

[invite7a12f04e]

Et vous n'auriez pas une idée solution à tout hasard? . Je déteste ne pas trouver un exercice et j ai du mal a passer a autre chose tant que je n ai pas la reponse

[invitec9d3e4ec]

En train de chercher ... mais mes études en algèbre remontent à loin, je vais y penser du temps :/ J'espère que d'autres intervenants pourront vous aider utilement contrairement à moi. J'espère que je ne vous ai pas dérangé par mes interrogations.

[invite7a12f04e]

Absolument pas! Au contraire même puisque vous êtes pour l instant le seul à essayer de m aider. Donc merci beaucoup

[invitebfd92313]

Bonsoir,

Tu es dans un anneau principal. Tu as montré que u divise w^3, et que w est irréductible. Quels sont les diviseurs de w^3 ?

[invite7a12f04e]

Bonjour, je sais qu'ils sont nécessairement de la forme kw avec k= x + wy

[invite7a12f04e]

Ou u=1 bien sûr

[invitec9d3e4ec]

Bonjour,

Ou u = -1 (inversibles à ne pas oublier, sauf si on raisonne "aux inversibles près")

Sinon, sauf erreur, je pense que Hamb veut faire comprendre autre chose de plus simple (que je pense avoir compris mais sans en être certain, en train de revoir mes anciens cours pour en être sûr : anneau intègre, anneau principal, anneau factoriel, divisibilité, irréductibilité, etc.)

Bon courage, sinon.

[invite7a12f04e]

Eh bien vraiment je ne sais pas ( ça fait depuis hier que je cherche)