Arithmetique spé

[kaderben]

Bonjour
voici un exo de terminale S spécialité
a et b sont deux entiers relatifs tels que a-b et a+b sont congrus modulo n
En deduire que si a^2 - b^2 est multiple de n alors a-b et a+b le sont egalement.

Puisque a-b et a+b sont congrus modulo n, donc a-b == a+b (n) == c'est congru

a^2 - b^2 = (a-b) (a+b) == 0(n) car c'est multiple de n
Je n'arrive pas à prouver que a-b == 0(n) et a+b == 0 (n) à partir de la ligne d'au dessus.
j'ai essayé avec a-b = nk et a+b = nk' mais je n'arrive à rien.

Merci pour une aide si tout le monde n'est pas parti en vacances...
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[gg0]

Bonjour.

Ecrit ainsi, ton exercice me semble faux :
prenons a=8 et b= 2, puis n=4
8-2 = 6 et 8+2=10 : a+b et a-b sont congrus modulo 4
6*10 = 60 =4*15 : a²-b² est multiple de 4.
Pourtant ni 6 ni 10 n'est multiple de 4.

Ai-je mal lu l'énoncé ?

Cordialement.

[inviteea028771]

En effet, il y a des conditions sur n.

Par exemple si n est un carré (n=k²), on voit tout de suite que ça ne va pas marcher

[invite9cc78376]

Non je crois que tu as raison, regarde :
a-b et a+b sont congrus mudulo n donc
- a-b =0 [n]
- a+b=0 [n]

or (a-b)(a+b)=a²-b² donc (a-b)(a+b)=0[n²]
donc (a-b)(a+b)=0 [n]

ansi a²-b² est congru modulo n

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite9cc78376]

ah non dsl j'ai mal lu le message et je sais pas encore comment supprimer un message posté

[kaderben]

bonjour

Au fait c'est l'exercice spécialité du bac Amérique du Nord 2012
question 2.b)

En effet, n=2

Je pensais que c'était quelque soit n.
excusez moi.

Mais il y a quelqu'un qui a donné cette démonstration dans un cas général:

a-b ≡ a+b ≡ k (n)
Si a1 ≡ b1 (n) et a2 ≡ b2 (n) alors a1.a2 ≡ b1.b2 (n)

(a-b)(a+b) = a²-b² ≡ k²

a² - b² ≡ 0 (n)
On a donc k² = 0 => k = 0 => a-b ≡ a+b ≡ 0 (n)

[gg0]

Attention,

on n'a pas k²=0, mais k² congru à 0 modulo n. Pour n=2, les carrés congrus à 0 sont ceux des nombres pairs, donc des congrus à 0 modulo 2. la conclusion en vient. par contre, pour n=4, k=2 n'est pas congru à 0, mais k² l'est.

Cordialement.

[inviteea028771]

En fait, ce résultat est vrai si et seulement si, dans la décomposition en facteur premiers de n il n'y a pas de puissances plus grandes que 1.

En effet, si on a n = p²*r, alors en posant a+b = p*r+2n et a-b = p*r (ils sont congru modulo n, mais pas congru à 0 modulo n), on a :

(a+b)(a-b) = (p*r)(p*r+2n) = p²*r²+p*r*n = n*r+n*p*r

Qui est congru à 0 modulo n.


Et réciproquement, si , nombres premiers tous distincts, alors il n'existe pas d'entier k strictement compris entre 0 et n tel que k² soit un multiple de n. En effet, k² ne contient que les facteurs premiers de k, or ce dernier ne peut contenir tout les facteurs de n, vu que 0 < k < n, et que les facteurs ne sont présent qu'une seule fois (je ne sais pas si je suis très clair)