Equation polynômiale dans C
j'ai un problème
je n'arrive pas à résoudre z^4 = -4
z étant un complexe
z=a+ib
z^4= (a+ib)^4
= a^4 + 2a²iab - 2b²iab + b^4
On cherche z tel que z^4=-4
donc a^4 - 4a²b²+ b^4 = -4
et 2a²iab-2b²iab = 0
2a²iab = 2b²iab donc a²=b² donc a=b ou a=-b
cas où a=b
a^4-4a²b²+b^4 = -2b^4
pareil pour le cas où a =-b
quelqu'un peut m'aider pour trouver z sous forme
z = a+ib???? MERCI BEAUCOUP
T'as plutôt intérêt de t'y prendre en 2 étapes :
Tu trouves z1 et z2 tel que z1² et z2² =4= de toute évidence z1 = 2 et z2 = -2
Donc ça te ramène à trouver les racines complexes de 2 et -2 (4 solutions en tout).
après t'as plusieurs solutions : soit en passant par les formules ou alors en passant par les exponentielles complexes
Bonsoir,Envoyé par RP1700
Attention, c'est z4= -4 !
Donc, il faut modifier quelque peu la résolution, en restant sur l'idée de décomposer avec des carrés.
En effet, si l'on résout d'abord l'équation z^2 = -4, on trouve facilement deux solutions.
Ensuite, pour chacune des deux solutions, on pose y^2 = z.
Sinon :
(a+bi)^4
= a^4 + 4(a^3)bi - 6(a^2)b^2 - 4a(b^3)i + b^4
a^4 + 4(a^3)bi - 6(a^2)b^2 - 4a(b^3)i + b^4 = -4
La partie imaginaire est nulle. La partie réelle égale -4. Tu as donc le système de deux équations suivant :
a^4 - 6 a^2 b^2 + b^4 = -4.
4(a^3)bi - 4a(b^3)i = 0.
La deuxième équation t'aidant beaucoup, à substituer.
Shokin
Dernière modification par shokin ; 24/01/2006 à 00h59.
Pardon, humilité, humour, hasard, tolérance, partage, curiosité et diversité => liberté et sérénité.
C'est quand même plus simple d'utiliser les coordonnées polaires.
Donc r^4 = 4, d'où
et
Donc
Donc, si on impose,
on trouve
Et voilà !
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rvz
