matrice dégénérées et déterminant

[invitead720f99]

Une forme bilinéaire est dite dégénérée si son noyau n'est pas réduit à {0}...
Est-ce que si le déterminant de la matrice d'une forme bilinéaire est nul, on peut dire qu'elle est dégénérées???
Et pourquoi???

Mersi à vous,
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[GuYem]

J'ai un peu peur de dire des bétisees mais je me lance !

Si tu supposes que ta forme bilinéaire est symétrique alors la nullité du determinant entraine la dégénerescence. Cela se voit en diagonalisant ta matrice dans une base orthonormée. En effet il y a alors une valeur propre nulle et tu trouves un vecteur du noyau de la forme en la personne d'un vecteur propre pour 0.

Je ne me prononce pas pour la réciproque ... peur des vecteurs isotropes que j'ai attrappée en cours avec M. Tauvel ....

[invitead720f99]

merci, je crois que ça m'aide un peu
a+

[invite6b1e2c2e]

Effectivement. Soit A la matrice d'une forme bilinéaire.
Si il existe x non nul tel que A(x,x) =0, on dit que la forme bilinéaire admet des vecteurs isotropes. Et cela peut arriver même si A n'est pas dégénéré e. En effet, on peut avoir A(x,x)=0 sans avoir Ax =0. Par exemple, regarde la matrice
(1,0)
(0,-1)
Tu as, en posant ici le cas d'un vecteur isotrope v= (1,1). Mais pourtant le déterminant est non nul.

Cependant, si tu supposes la matrice A symétrique positive, il est facile de voir (par exemple en diagonalisant, ou encore en extrayant une racine carrée symétrique), que si A(x,x)=0, alors Ax =0, et donc que det(A)=0.

Enfin, je réponds à la question initiale. Si det(A)=0, alors il existe x non nul tel que Ax =0 Donc pour tout y,
A(x,y)=0. Donc A est dégénéré e. Et c'est même équivalent.
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rvz

[A voir en vidéo sur Futura]