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[Derivée] Un problème amusant ...



  1. #1
    Bleyblue

    [Derivée] Un problème amusant ...


    ------

    Bonjour,

    Voici un énoncé que j'ai été piocher dans mon livre d'analyse :

    Trouvez l'expression d'une fonction f telle que f'(-1) = 1/2, f'(0) = 0 et f''(x) > 0 pour tout x ou démontrez qu'il est impossible qu'une telle fonction existe
    Moi j'ai réfléchit, j'ai essayé sur des exemples et j'en suis arrivé à la conclusion que c'est impossible car :

    f'(-1) = 1/2 > 0

    mais comme f'(0) = 0 il faut que quelque part sur l'intervalle ]-1,0[ f' diminue de manière à s'annuler.
    C'est impossible vu que cela impliquerait f''(x) < 0 OU BIEN f discontinue (et donc f'' n'existerait pas) ce qui ne permet pas de satisfaire à la troisième condition.

    Pensez-vous que ça puisse tenire lieu de démonstration cette explication la ?

    merci

    -----

  2. #2
    matthias

    Re : [Derivée] Un problème amusant ...

    "pour tout x" est ambigu. Ca peut vouloir dire sur tout l'ensemble de définition (pas nécessairement R) ou sur tout R.

  3. #3
    Bleyblue

    Re : [Derivée] Un problème amusant ...

    Ah oui, mais si la fonction est discontinue de toute fa&#231;on m&#234;me si le point appartient au domaine f'' n'existe pas non ?

    Si je prend la fonction :

    f(x) = x&#178; si x >= -1/2
    f(x) = Arctg(x) si x < -1/2

    Ca fonctionne sauf que la fonction n'est pas d&#233;rivable en -1/2 donc f'' n'existe pas ...

    merci

    EDIT : Si je prend plut&#244;t :

    f(x) = x&#178; si x > -1/2
    f(x) = Arctg(x) si x < -1/2

    f'' est bien positive partout sur le domaine en effet ..

  4. #4
    mateo64

    Re : [Derivée] Un problème amusant ...

    Pour une fonction de la forme ax² + bx +c çà ne marche pas je suis d'accord.
    Mais si on essaye j'arrive à un truc, enfin je ne suis sur de rien je ne suis pas un fortiche en maths.

    f(x) = a x^3 + b x² + cx +d avec a, b, c et d réels

    f' (x)= 3 a x² +2bx +c
    d'où f'(-1) = 3 a - 2 b +c = 1/2
    f'(0) = c = 0

    cela nous donne donc a = 1/3 ( 2b +1/2) relation 1

    de plus f" (x) >0
    6ax + 2b >0
    soit x > -b / 3a
    x > -b / ( 2b +1/2) d'après la relation 1

    ceci donnerait une condition sur l'intervalle de définition

    mais pour d il faut faire comment là je suis perdu

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    Bleyblue

    Re : [Derivée] Un problème amusant ...

    Mais l'énoncé précise "quel que soit x" alors à mon avis ça doit vouloir dire pour tout x réel

  7. #6
    Bleyblue

    Re : [Derivée] Un problème amusant ...

    Citation Envoyé par mateo64
    de plus f" (x) >0
    6ax + 2b >0
    soit x > -b / 3a
    x > -b / ( 2b +1/2) d'après la relation 1
    Non tu ne peux pas imposer de condition sur x.
    f'' doit être positive pour tout x réel

  8. #7
    matthias

    Re : [Derivée] Un problème amusant ...

    Citation Envoyé par Bleyblue
    Mais l'énoncé précise "quel que soit x" alors à mon avis ça doit vouloir dire pour tout x réel
    C'est une question d'interprétation. Je pense que l'énoncé est volontairement ambigu, justement pour ne pas exclure une fonction dont le domaine de définition ne serait pas R (ou un intervalle de manière générale).

  9. #8
    Bleyblue

    Re : [Derivée] Un problème amusant ...

    Ah bon.

    Dans ce cas la fonction que j'ai exhibée convient bien

    merci

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