[Derivée] Un problème amusant ...

[Bleyblue]

Bonjour,

Voici un énoncé que j'ai été piocher dans mon livre d'analyse :

Trouvez l'expression d'une fonction f telle que f'(-1) = 1/2, f'(0) = 0 et f''(x) > 0 pour tout x ou démontrez qu'il est impossible qu'une telle fonction existe

Moi j'ai réfléchit, j'ai essayé sur des exemples et j'en suis arrivé à la conclusion que c'est impossible car :

f'(-1) = 1/2 > 0

mais comme f'(0) = 0 il faut que quelque part sur l'intervalle ]-1,0[ f' diminue de manière à s'annuler.
C'est impossible vu que cela impliquerait f''(x) < 0 OU BIEN f discontinue (et donc f'' n'existerait pas) ce qui ne permet pas de satisfaire à la troisième condition.

Pensez-vous que ça puisse tenire lieu de démonstration cette explication la ?

merci
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[invitec314d025]

"pour tout x" est ambigu. Ca peut vouloir dire sur tout l'ensemble de définition (pas nécessairement R) ou sur tout R.

[Bleyblue]

Ah oui, mais si la fonction est discontinue de toute fa&#231;on m&#234;me si le point appartient au domaine f'' n'existe pas non ?

Si je prend la fonction :

f(x) = x&#178; si x >= -1/2
f(x) = Arctg(x) si x < -1/2

Ca fonctionne sauf que la fonction n'est pas d&#233;rivable en -1/2 donc f'' n'existe pas ...

merci

EDIT : Si je prend plut&#244;t :

f(x) = x&#178; si x > -1/2
f(x) = Arctg(x) si x < -1/2

f'' est bien positive partout sur le domaine en effet ..

[invite81e27154]

Pour une fonction de la forme ax² + bx +c çà ne marche pas je suis d'accord.
Mais si on essaye j'arrive à un truc, enfin je ne suis sur de rien je ne suis pas un fortiche en maths.

f(x) = a x^3 + b x² + cx +d avec a, b, c et d réels

f' (x)= 3 a x² +2bx +c
d'où f'(-1) = 3 a - 2 b +c = 1/2
f'(0) = c = 0

cela nous donne donc a = 1/3 ( 2b +1/2) relation 1

de plus f" (x) >0
6ax + 2b >0
soit x > -b / 3a
x > -b / ( 2b +1/2) d'après la relation 1

ceci donnerait une condition sur l'intervalle de définition

mais pour d il faut faire comment là je suis perdu

[A voir en vidéo sur Futura]

[Bleyblue]

Mais l'énoncé précise "quel que soit x" alors à mon avis ça doit vouloir dire pour tout x réel

[Bleyblue]

de plus f" (x) >0
6ax + 2b >0
soit x > -b / 3a
x > -b / ( 2b +1/2) d'après la relation 1

Non tu ne peux pas imposer de condition sur x.
f'' doit être positive pour tout x réel

[invitec314d025]

Mais l'énoncé précise "quel que soit x" alors à mon avis ça doit vouloir dire pour tout x réel

C'est une question d'interprétation. Je pense que l'énoncé est volontairement ambigu, justement pour ne pas exclure une fonction dont le domaine de définition ne serait pas R (ou un intervalle de manière générale).

[Bleyblue]

Ah bon.

Dans ce cas la fonction que j'ai exhibée convient bien

merci