Problème amusant relié à la cosmologie

[deep_turtle]

Bonjour,

Pour perturber ceux d'entre vous pendant leurs révisions ( ), je vous propose un petit problème relié à la cosmologie... La question revient souvent dans ce forum de savoir si la vitesse de la lumière est constante dans un Univers en expansion, et si on peut voir un objet situé à plus de 14 années-lumière dans un Univers âgé de 14 annes-lumière...

Je ne vais pas rediscuter de ça ici, je voudrais juste vous soumettre le petit problème suivant, qui en apparence n'a pas grand-chose à voir avec ce que je viens d'évoquer, on aura l'occasion (j'espère) d'y revenir...

Vous êtes en bas d'un escalier qui comporte 10 marches. A chaque pas que vous faites sur cet escalier, le nombre de marches est multiplié par deux (ceux qui ont vu le film "Dark City" se souviennent peut-être 'une scène de ce type...), l'augmentation de taille de l'escalier étant homogène : si vous êtes au tiers de l'escalier avant ll'augmentation, vous restez au tiers après l'augmentation, l'escalier ayant gangé des marches devant et derrière vous, proportionnellement au nombre de marches qui s'y trouvaient déjà...

La question est simple : arriverez-vous un jour en haut de l'escalier ? (si oui, en combien de pas ?)

Si ça peut vous motiver, imaginez votre plus beau rêve en haut de l'escalier... C'est Jimy Page qui m'a soumis le problème, un jour...
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[yat]

Ca ressemble au problème de la puce sur la laisse élastique... sauf que là, la longueur de la "laisse" augmente exponentiellement et plus linéairement.

Et puis là, en l'occurence, il me semble fort improbable qu'on puisse s'approcher du bout, parce qu'il restera toujours de plus en plus de marches à parcourir...
Bon, on va essayer de dire ca plus clairement : Si le nombre de marches est multiplié par deux et que la proportion de marches devant et derrière reste constante, alors le nombre de marches qui restent à monter est lui aussi multiplié par deux. J'appelle U_n le nombre de marches qu'il reste à monter quand on a fait n pas. à n=0, U_n=10.
D'après l'énoncé, U_n+1=2U_n-1. On peut donc vérifier par récurence que U_n=9*2ⁿ+1, et ça m'étonnerait que ça tende un jour vers zéro...

[Coincoin]

Salut,

ça m'étonnerait que ça tende un jour vers zéro...

Même en montant les marches deux par deux...

Saleté d'ascenseur toujours en panne quand il faut pas !

[yat]

Oups, je viens de me rendre compte que c'était un sondage (pas bien réveillé, moi). Peut-être qu'il fallait se contenter d'une réponse sans justification histoire de ne pas influencer les autres...
...si c'est le cas et qu'un gentil modo veut bien rectifier le tir...

[A voir en vidéo sur Futura]

[BioBen]

Je ne suis aps d'accord avec toi yat. Je pense que ca rejoint l'engime que j'avais posté il y a queqlue temps du chien et de la puce (http://forums.futura-sciences.com/sh...t=chien+engime)
Alors je pense que oui, on arrive en haut, au bout de combien de temps, j'en sais rien
a+
ben

[mariposa]

Je ne comprend pas le lien entre le problème posé, la vitesse de la lumière, l'expansion de l'Univers.

Pour moi la vitesse de la lumière se déplace toujours à la vitesse de la lumière et il en est ainsi pour toutes les particules de masse nulle.
C'est en quelque sorte structurel à la relativité (restreinte ou générale). La lumière est un invariant fondamental de la physique.

L'expansion de l'univers est du à l'évolution de la métrique espace-temps. Même si l'évolution de l'univers était très tordu, la lumière se déplace toujours selon les géodésiques à la vitesse de la lumière.

mariposa

[yat]

Je ne suis aps d'accord avec toi yat. Je pense que ca rejoint l'engime que j'avais posté il y a queqlue temps du chien et de la puce (http://forums.futura-sciences.com/sh...t=chien+engime)
Alors je pense que oui, on arrive en haut, au bout de combien de temps, j'en sais rien
a+
ben

Oui, j'ai bien précisé que ça ressemblait à cette énigme (merci d'avoir retrouvé le lien).
Mais ce n'est pas la même, celle-ci est bien plus simple. Si tu n'es pas d'accord avec ma réponse, tu dois bien pouvoir trouver l'erreur dans mon raisonnement, non ? Mais pour moi le simple fait de comprendre qu'à chaque marche franchie, il en restera deux fois plus qu'avant -1 suffit à se rendre compte qu'on arrivera jamais au bout.

[BioBen]

Oui, j'ai bien précisé que ça ressemblait à cette énigme (merci d'avoir retrouvé le lien).
Mais ce n'est pas la même, celle-ci est bien plus simple. Si tu n'es pas d'accord avec ma réponse, tu dois bien pouvoir trouver l'erreur dans mon raisonnement, non ? Mais pour moi le simple fait de comprendre qu'à chaque marche franchie, il en restera deux fois plus qu'avant -1 suffit à se rendre compte qu'on arrivera jamais au bout.

Oups désolé déja j'avais pas lu tes deux premières lignes (ou tu parlais de la laisse, j'avais lu le reste par contre).
Je ne vois pas d'erreur dans ton raisonnement à première vue (d'ailleurs ta réponse semble la plus logique je l'admet), mais dans le même temps en quoi est-ce réellement différent du problème de la puce.

A chaque fois qu'on avance, l'escalier s'allonge. Mais il ne peut pas y avoir de "marche limite" (que l'on ne pourra pas dépasser) puisque à chaque fois on peut monter encore un peu.
Au final, il n'y a pas de marche limite, donc on peut arriver au bout.
Moi je vois ca comme ca...
Non ? Es-tu d'accord qu'il ne peut y avoir de "marche limite" ?
Je pense qu'il faut bien prendre en compte cette phrase

l'augmentation de taille de l'escalier étant homogène : si vous êtes au tiers de l'escalier avant ll'augmentation, vous restez au tiers après l'augmentation, l'escalier ayant gangé des marches devant et derrière vous, proportionnellement au nombre de marches qui s'y trouvaient déjà...

Donc ca ressemble bien à la laisse...Dasn ton raisonnement ne considères tu pas que à chaque fois il y 2 marches qui aparaissent devant ?

a+
ben

[Coincoin]

Si tu numérote les marches depuis le bas, le numéro de ta marche est strictement croissant, mais le numéro de la dernière marche tend vers l'infini et plus vite...

[BioBen]

Si tu numérote les marches depuis le bas, le numéro de ta marche est strictement croissant, mais le numéro de la dernière marche tend vers l'infini et plus vite...

Justement, je n'en suis aps si sûr !

l'augmentation de taille de l'escalier étant homogène : si vous êtes au tiers de l'escalier avant ll'augmentation, vous restez au tiers après l'augmentation, l'escalier ayant gangé des marches devant et derrière vous, proportionnellement au nombre de marches qui s'y trouvaient déjà...

Plus tu avances, moins de marches apparaissent devant...

[yat]

Plus tu avances, moins de marches apparaissent devant...

Ah non, ce n'est pas vrai.

[BioBen]

Pourquoi ...?
(je veux bien te croire, mais développe un peu.... )

[yat]

mais dans le même temps en quoi est-ce réellement différent du problème de la puce.

Dans le problème de la puce l'étirement de la laisse était linéaire. Ici il est exponentiel. Le nombre de marches qu'il reste à monter sera toujours de plus en plus grand, quelle que soit sa valeur de départ.

A chaque fois qu'on avance, l'escalier s'allonge. Mais il ne peut pas y avoir de "marche limite" (que l'on ne pourra pas dépasser) puisque à chaque fois on peut monter encore un peu.
Au final, il n'y a pas de marche limite, donc on peut arriver au bout.
Moi je vois ca comme ca...
Non ? Es-tu d'accord qu'il ne peut y avoir de "marche limite" ?
Je pense qu'il faut bien prendre en compte cette phrase

En fait, c'est un peu difficile de voir le problème comme ça, parce que comme le nombre de marche change, on ne sais pas vraiment ou viennent s'insérer les marches ajoutées. Si tu considères qu'on les ajoute à la fin, alors ok chaque marche pourra nécessairement être atteinte au bout d'un moment, mais le temps qu'on l'atteigne il y en aura des nouvelles derrière.

Donc ca ressemble bien à la laisse...Dasn ton raisonnement ne considères tu pas que à chaque fois il y 2 marches qui aparaissent devant ?

Ah ben non... sinon ça serait déjà plus proche de l'autre problème (sauf qu'on n'atteindrait toujours pas le bou, puisqu'à chaque pas il restera toujours une marche de plus qu'au pas précédent), mais ici le nombre de marche qu'il reste à franchir double à chaque pas. Ca n'a pas grand chose à voir.

[yat]

Pourquoi ...?
(je veux bien te croire, mais développe un peu.... )

Parce que si tu as 2 marches devant toi, quand tu en franchis une il en apparaitra 2, donc il en reste trois devant toi, du coup il va en apparaitre trois et il t'en restera 5 devant toi, et ainsi de suite. On ajoute à chaque fois plus de marches.

[BioBen]

Attends y a-t-il une "marche limite" alors ?
Si la réponse est non, c'est bien qu'on arrive au bout à un moment !
a+
ben

[BioBen]

Parce que si tu as 2 marches devant toi, quand tu en franchis une il en apparaitra 2, donc il en reste trois devant toi, du coup il va en apparaitre trois et il t'en restera 5 devant toi, et ainsi de suite. On ajoute à chaque fois plus de marches.

Euh non ...
Si tu 2marches devant toi, tu montes sur la première (tu es à la moitié), puis le nombre de marche double : une devant une derriere .
Donc 2 marches devant, 2 marches derriere.
et ainsi de suite...

Bref, je pense que je vais attendre deep_turtle...

[yat]

Attends y a-t-il une "marche limite" alors ?
Si la réponse est non, c'est bien qu'on arrive au bout à un moment !
a+
ben

Non, il n'y a pas de marche limite, mais le but n'est pas d'atteindre la dixième ou la Nième, mais la dernière. A chaque pas, la dernière se trouve deux fois plus loin. C'est comme si tu essayais de rattrapper la fonction cube avec la fonction carrée. La fonction carrée atteindra toujours toute valeur fixée au départ, mais au delà de 1, elle ne rejoindra jamais la valeur de la fonction cube.

[yat]

Euh non ...
Si tu 2marches devant toi, tu montes sur la première (tu es à la moitié), puis le nombre de marche double : une devant une derriere .
Donc 2 marches devant, 2 marches derriere.
et ainsi de suite...

Bah, ça ça dépend si tu dis que la multiplication se fait avant ou après que tu aies franchi ta marche. Moi je disais supérieur à 1 parce que je compte la multiplication avant. Sinon il faut dire supérieur à 2...

Donc tu as trois marches, tu en franchis une, et il t'en reste 4. Tu en franchis une il t'en reste 6... tu en franchis encore une il t'en reste 10. Tu vois, on en ajoute à chaque fois plus.

[BioBen]

Supposons 10 marches au début
1/ Premier pas en avant
1/10 des marches sont derrière,, 9/10 devant
20 marches apparaissent : 2 derièrre et 18 devant
On est donc au 3/30 (=1/10) de l'esclaier.

2/ 2ème pas en avant
On passe de la 3ème à la quatrième marche.
On est donc plus au 1/10 de l'escalier, mais au 4/30 (>1/10) de l'escalier.
60 marches aparaissent : 8 derrière et 52 devant
On est donc au 8/60 de l'esaclier. (=4/30>1/10)

3/ 3ème pas en avant
Le 3ème aps nous fait monter au 9/60 (>4/30 > 1/10)
Et ainsi de suite...

Ou est ce que je me trompe ??
(désolé si je te saoule, dis le, mais je vois pas où je me gourre...)

Ps pour répondre à ton dernier message, deep dit bien :

. A chaque pas que vous faites sur cet escalier, le nombre de marches est multiplié par deux

Ce qui sous entend clairmeent que la multplication se fait après le franchissement.
De plus, il faut bien prendre en compte (ce que tu ne faisais aps au début je crois) que les marches n'apparaissent pas toutes de vant, et comme tu le vois plus, la proportion de marches apparaissant devant diminue.
Donc on arrive au bout.

[deep_turtle]

Je ne comprend pas le lien entre le problème posé, la vitesse de la lumière, l'expansion de l'Univers.

ce n'est en effet pas très explicite dans le message original, je voulais y revenir plus tard, mais poser la question sans la faire intervenir pour ne pas que deux choses différentes soient discutées en même temps. Ceci dit voici ce que j'avais en tête :

Le nombre de marches montées peut correspondre au temps qui s'est écoulé (la vitesse de la lumière étant constante, on peut s'en servir d'horloge).

Le haut et le bas de l'escalier peuvent correspondre à deux objets ayant des positions comobiles fixes disons notre amas de galaxies et un autre amas.

Le nombre de marches total peut représenter la distance physique entre ces objets (distance comobile multipliée par un facteur d'échelle). Ici l'expansion est exponentielle, ce qui selon les modèles actuels sera bientôt le cas de notre Univers...

La question peut alors se traduire par "la lumière émise par un des objets atteindra-t-elle l'autre un jour ?".

[yat]

Ou est ce que je me trompe ??
(désolé si je te saoule, dis le, mais je vois pas où je me gourre...)

Hé hé, c'est normal, tu ne te gourre pas. Ta position relative sur l'escalier ne cesse d'avancer, certes. Mais cela ne suffit pas pour dire qu'on va atteindre le bout.

Ps pour répondre à ton dernier message, deep dit bien :
Ce qui sous entend clairmeent que la multplication se fait après le franchissement.

Oui, tu as raison je n'avais pas fait attention. Toutefois cela ne change absolument rien au problème.

De plus, il faut bien prendre en compte (ce que tu ne faisais aps au début je crois) que les marches n'apparaissent pas toutes de vant, et comme tu le vois plus, la proportion de marches apparaissant devant diminue.

Non, je ne dis pas que toutes les marches apparaissent devant. Je ne me soucie pas des marches qui sont derrière moi, toute cette distance grandissante qu'on semble avoir gravi n'est qu'une illusion. Le nombre de marches qui restent à monter, lui, sera quand même multiplié par deux. Et c'est pour ça qu'on n'arrivera jamais au bout.

Donc on arrive au bout.

Hé hé... bonne chance !

[yat]

Pour corriger ma mauvaise lecture de l'énoncé, je corrige donc mon premier calcul : U_n le nombre de marches qu'il reste à franchir au nieme pas. U_n+1=2(U_n-1). Comme U0=10, on aboutit cette fois à U_n=8*2ⁿ+2

Tu peux vérifier à la main pour les premiers éléments. Ca ne correspondra pas exactement à ce que tu as fait parce que je viens de me rendre compte que tu t'étais un peu planté quand même, mais si tu recommences en multipliant le nombre de marches par 2 et plus par 3, tu retomberas sur les premiers éléments de cette suite.

[deep_turtle]

Ca avance vite... j'aime bien ta façon simple de voir les choses, yat, effectivement si on ne s'intéresse qu'aux nombres de marches qu'il reste à monter la solution est très simple...

Je te propose une deuxième étape au problème, pour lever une éventuelle ambiguïté dans des messages précédents (=phrase qui ne veut rien dire pour quiconque autre que moi... berf...) :

Maintenant, la taille de l'escalier n'est pas multipliée par 2 mais par un facteur f constant (expansion exponentielle donc) supérieur à 1... La conclusion à laquelle tu arrives est-elle valable pour tout valeur de f ?

[yat]

Euh... si f n'est pas entier il va falloir utiliser un nombre réel de marches, ce qui me parait légèrement problématique. (parce que si f est entier, il est évident que si f est supérieur à 2 on n'aura pas plus de chances d'arriver au bout...)

Mais bon, tant qu'on est dans l'abstraction, Je peux faire la même suite telle que U₀=10 et U_n+1=f*(U_n-1).

Mon petit doigt me dit que le terme général sera de la forme U_n=A*fⁿ+B
Comme U₀=10, A+B=10, et comme U_n+1=f*(U_n-1), on a
A*fⁿ⁺¹+B=f*(A*fⁿ+B-1)
soit A*fⁿ⁺¹+B=A*fⁿ⁺¹+Bf-f
donc B=Bf-f, ou B=f/(f-1)

Donc U_n=(10-f/(f-1))*fⁿ+f/(f-1)
Comme f>1, f/(f-1) est toujours strictement positif. Pareil pour fⁿ, donc la seule solution pour qu'on arrive au bout et qu'il ne reste plus de marche impliquerait que 10-f/(f-1) soit négatif.
Soit f/(f-1)>10, f>10f-10, soit f<10/9.
Si c'est le cas, fⁿ va forcément finir par être assez grand pour que, multiplié par une constante négative, il passe en dessous d'une constante positive, donc je me permets de dire que l'on atteindra le bout de l'escalier si et seulement si f<10/9.

Hum...

Et dire que ma douce m'attend.

Bonne soirée !

[deep_turtle]

Et dire que ma douce m'attend.

Tu lui expliqueras que tu étais au pied d'un escalator aux propriétés bizarres, elle comprendra... ...

[BioBen]

Yat, deep_turtle semble dire que tu as raison (et je beux bien le croire), mais je ne comprends toujours pas où est l'erreur dans mon message #19.
Le rapport [marches franchies] / [marches totales] semble se rapprocher de 1...donc il semble arriver au bout.
Help....
a+
ben

[Coincoin]

Le rapport [marches franchies] / [marches totales] semble se rapprocher de 1

Mais le nombre de marches totales tend vers l'infini, donc même si le rapport [marches restantes]/[marche totales] tend vers 0, le nombre de marches restantes ne tend pas vers 0 (au contraire il diverge...)

[BioBen]

Ok c'est bon j'ai capish.
Merci
a+
ben

[invite6f044255]

Salut a tous,

je pense en plus qu'on peut voir que meme tres pres du but, on n'est pas arrive au bout de nos peines...

Imaginons qu'il reste deux marches devant (c'est oblige d'arriver pour atteindre le haut). Je fais un pas, il reste une marche, qui se multiplie par deux. Donc il reste deux marches, je fais un pas....

C'est pire que l'histoire du type qui demande a son pote de compter les marches de l'escalator...

Je planche sur f...

[invite6f044255]

Disons f=1.1

Il me reste 10 marches, je fais un pas, il en reste 9 qui deviennent 9.9 ( ), je fais un pas, il en reste 8.9 qui deviennent 9.79, etc....ca semble converger!!!

Disons f=1.2

Il me reste 10 marches, je fais un pas, il en reste 9 qui deviennent 10.8, la c'est pas bon....


On deduite intuitivement (et hativement) une methode generale, qui stipule que si le nombre de marches diminue une fois, il diminuera tout le temps.
Ainsi, la valeur critique est 10/9, ou on reste a nombre de marches constant.

Pareil que Yat!!