Bonjour à tous,

Je me suis demandé s'il était possible de montrer que l'espace projectif était orientable si et seulement si était impair en utilisant seulement l'atlas usuel.

(Je rappelle que l'atlas usuel est formé des ouverts et des cartes définies sur .)

On obtient alors le changement de carte en supposant .

Pour le jacobien, j'ai trouvé où , , et .

En développant le déterminant par rapport aux premières colonnes et dernières, et par bilinéarité, j'obtiens l'expression :

.

Pour calculer le déterminant, il suffit alors de décaler la dernière colonne jusqu'à la première place pour obtenir une matrice diagonale, d'où finalement .

En composant les cartes par les applications linéaires , on modifie légèrement l'atlas usuel pour trouver des changements de carte dont le jacobien vaut .

Cela permet de montrer que les espaces projectifs ne sont pas orientables en dimensions paires, mais je ne vois pas en quoi cela permet de conclure en dimensions impaires. En fait, si j'avais trouvé j'aurais pu conclure, donc cela m'arrangerait d'avoir fait une erreur de signe quelque part

Voyez-vous une erreur ?