Polynôme de degré 3 dans C...

[invitec40f6331]

Bonsoir,

Je suis bloqué sur un exercice vraiment simple et je ne sais pas comment m'en sortir...

Voici l'énoncé :

Résoudre dans l'équation : sachant qu'il y a une solution qui soit un nombre imaginaire pur.

Voici mon raisonnement :

On sait qu'il y a une solution qui soit un imaginaire pur, autrement dit qu'il existe un réel y tel que z = iy. On remplace donc z par iy dans l'équation :



Par identification des parties réelle et imaginaire, on a le système :


On a donc , polynôme du second degré de discriminant

Et donc deux solutions :

ou


La 2nde solution n'est pas vérifiée par la 2nde équation du système ; elle n'en est pas une.
On a donc .

Voilà, c'est bien beau, j'ai une solution... Mais ensuite ? Je sais que c'est tout con mais je n'arrive plus à mettre la main dessus !
Une bonne âme pour m'aider ?
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[gg0]

Théorème :
Si P est un polynôme et a une racine de ce polynôme, alors P(z) se factorise par ...

Cordialement.

[invitec40f6331]

Merci pour votre réponse très rapide ! Mais honnêtement je vois vraiment pas...

[inviteea028771]

Merci pour votre réponse très rapide ! Mais honnêtement je vois vraiment pas...

Pour expliciter ce que dit gg0 : si P est un polynôme de degré n qui a r pour racine, alors il s'écrit P(z) = (z-r)Q(z), avec Q un polynôme de degré n-1

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite7c2548ec]

Bonsoir coolman756 z=2i est juste comme racine de p(z) en plus ,je crois bien que gg0 ainsi que tryss en tout expliquer , vous prenez p(z) et vous le divisez par (z-2i) en apliquant la division Euclidienne valable aussi dans C corps des nombres complexe ;

Cordialement