Polynôme de degré 4 à résoudre dans C

[invite4b835d95]

Bonjour à tous, et merci d'avance à ceux qui pourront/voudront m'aider.

J'ai un exercice de maths qui me pose problème depuis plusieurs jours, et après y avoir réfléchi pendant un long moment, je ne trouve aucune solution, je tourne en rond et je ne sais même pas ce que je fais à dire vrai. Pour ceux à qui cela paraîtra évident, je tiens à préciser que je suis assez nulle en maths, et que j'ai vraiment essayé avant de venir demander de l'aide ici.

Mon exercice est le suivant :
On note f(x) = x⁴ + 4
1) Résoudre dans C l'équation f(x) = 0.
2) En déduire que f est le produit de deux polynômes de degré 2 à coefficients réels.

Autant résoudre des polynômes de degré 2 dans C ne pose aucun problème, autant le degré 4 est un brouillard total. Je ne demande pas la solution, mais seulement la façon dont je dois procéder pour résoudre la première question.
Pour la deuxième question, je crois que la déduction se fait à partir des racines. Les résultats de la première question seront en partie la réponse à la deuxième question, si je ne me trompe pas. Ai-je raison, ou suis-je totalement à côté de la plaque ?

Merci d'avance pour les réponses.
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[gg0]

Bonjour.

Il n'y a aucun calcul pour la question 1, la réponse est évidente. Si tu ne vois pas, trace la courbe de x⁴+4.

Cordialement.

Nb : tu as dû voir la factorisation des polynômes à coefficients réels en cours (et le théorème de D'Alembert).

[invite4b835d95]

Pour la première question, on m'a donnée une méthode entre temps qui m'a permise de trouver comme réponses racine de 2i et - racine de 2i... alors pardon mais moi je ne vois pas en quoi c'était évident ^^" Tracer la courbe ne m'a pas donné de solution pour x⁴+4 =0, et j'ai bien fait des calculs pour trouver racine de 2i et - racine de 2i...

Pour la question 2, je n'ai pas vu le module de maths qui traitait de cela, car je n'ai pas fait la première année de la licence, et je ne l'ai pas fait non plus durant mon DUT. J'ai cherché le théorème dont tu m'as parlé, ça ne me dit vraiment rien du tout.

[gg0]

Oh, pardon !

J'avais lu "résoudre dans R" et c'était évident. Et la seconde question s'en déduisait.

Effectivement on trouve des solutions, mais pas 2, et "racine de 2i" n'a pas grande signification. mais en posant x=re^it et en écrivant -4 aussi sous la forme exponentielle, on obtient à la place de x⁴ = -4 l'équation

qui donne


je te laisse finir. En regardant bien, tu verras qu'il y a exactement 4 solutions (conformément au théorème de D'Alembert) distinctes. Ensuite, tu utilises le théorème sur le rapport entre racines et factorisation.

Tu ferais bien de lire un cours de L1 sur les polynômes. Surtout si tu es en L2 ou après.

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitecef3c426]

Hola,

J'ai vu un peu les polynômes l année dernière, et ce que je peux te dire c'est qu'une fois que tu as les racines de ton polynôme tu peux le décomposer en: (X- A1)(X-A2).....
En sachant que chaque racine trouvée admet son conjugué comme solution, donc ici c'est comme si tu avais quatre solutions, sauf que chaque solution à son double, ce qui donne un truc du style:

(X-racine(2i))(X+racine(2i))(X+ra cine(2i))(X-racine(2i)) et petit rappel ensuite: (X- (racine 1))(X-(conjugué de la racine 1))= X²-2 Reelle(racine 1)X+|racine 1|² ---> tu en déduis tes deux polynomes du second degré.

Adios.

[invite4b835d95]

gg0, je t'avoue que ce que tu m'as écrit est du chinois pour moi. Je ne suis pas du tout à l'aise avec les formes exponentielles. Du coup (loin de moi l'idée de me faire plaindre hein) je me dis que je ne peux peut-être pas le résoudre par moi-même, parce que je ne suis pas assez bonne en maths (je rame depuis la première S donc ce n'est pas la première fois que je me retrouve incapable de finir un exercice malgré le fait que j'y passe des jours).

J'ai suivi ce que tu as dit N-physpanish, du moins j'ai essayé. Seulement je n'arrive pas au bon résultat. Je sais qu'il faut que je trouve (x² - 2x +2)(x² + 2x +2) en développant ça donne bien x⁴ +4 mais en partant de ce que tu m'as dit je ne parviens pas à ce résultat. C'est sûrement parce que je n'ai que deux racines sur 4 si je suis ce que gg0 a dit.

[invitecef3c426]

En effet j'ai fait une petite erreur, tu trouves quatre solutions distinctes, qui sont : racine(2i)e^(i*pi/4) avec sa solution conjuguée, soit : racine(2i)e^(-i*pi/4)

et aussi : -racine(2i)e^(i*pi/4) avec -racine(2i)e^(-i*pi/4).

Maintenant refait ce que je t'ai dit, ca doit marcher.

Pour trouver les solutions ici, c'est assez simple car tu dois résoudre : x^4=-4 or petit rappel tu sais que e^(i*pi)=(e^(i*pi/4))^4=-1 ( vu en terminal) ---> loi sur les exponentielles :
(e^x)^a=e^ax

Ainsi en multipliant par 4 de chaque côté tu as: 4*e^(i*pi)=(e^(i*pi/4))^4=-1*4=-4 or tu sais que racine(2)^4=4 et (-racine(2))^4=4 donc tu en déduis les solutions pour X que j'ai mises au début du message:

racine(2)*(e^(i*pi/4)) puis (-racine(2))*(e^(i*pi/4)) en sachant que le conjugué de chaque solution est aussi solution soit: racine(2)*(e^(-i*pi/4)) et

-racine(2)*(e^(-i*pi/4)) ( Autre rappel : le conjugué de e^a*pi est e^-a*pi)


En esperant que tu as compris.

@+

[invite4b835d95]

Bon j'ai essayé, j'ai l'impression d'avoir magouillé pour que ça marche, mais pour quelque chose que je ne sais pas faire à la base on va dire que c'est pas mal.
Merci d'avoir pris le temps de m'expliquer, même si je n'ai compris que la moitié. Merci d'avoir essayé en tout cas.

[gg0]

Pour t'aider à vérifier :

et la factorisation est facile !

[inviteaf1870ed]

C'est un truc à savoir absolument : X⁴+1 se factorise dans IR, même s'il n'a pas de racine réelles. Comme le montre gg0
X⁴+1=(X²+1)²-2X²=(X²+1+rac(2)X)(X²+1-rac(2)X).

Ca sert pour les DES et les intégrations

[invite4b835d95]

Cette démonstration je la connais, mais mon problème est le suivant, la question 2 commence par "en déduire" ... donc c'est quelque chose que je dois tirer de la question précédente. Hors je ne suis pas capable (je suis vraiment nulle en maths ^^") de faire la question 1, malgré les explications qu'on m'a données.
Honnêtement à ce stade il faudrait que quelqu'un le fasse pour moi, parce que je ne sais pas faire ça (les exponentielles mêlées à des pi sur deux ou sur quatre, et j'en passe...), mais je ne demande pas la solution, parce que ça ne me servira à rien de l'avoir. Je n'aurai pas plus compris malheureusement, j'aurai peut-être une bonne note, mais elle ne sera pas méritée.

[gg0]

Donc il te faut aussi lire un cours de L1 sur les nombres complexes !! Tu peux commencer par un cours de terminale sur les nombres complexes et leur forme exponentielle. Puis tu prends un bouquin de L1 L2 et tu lis la partie "complexe" et la partie "polynômes".

Il ne faut pas rêver, si tu es sensée appliquer des méthodes "connues" (par les autres), il te faut les apprendre !

Bon courage !