Recherche d'un inverse

[invite46e41aed]

Bonjour,
La semaine dernière j'ai eu cet exercice en colle de mathématiques, que j'avais sur le coup réussi (avec l'aide du colleur ) mais qu'il m'est impossible de refaire. Soit K=Vect_Q(1,a,a²,a³⁾) où a= Montrer que K muni de + et . usuelles est un corps.
La seule chose qu'il me manque c'est de prouver que pour tout x de K il existe x' appartenant à K tel que x.x'=1 . Comment faire? J'ai déjà un polynôme de degré 4: X⁴-10X² +1 dont une des racines est a. (est-ce utile?)
Merci d'avance pour vos précieux conseils.
Cordialement Arthur.
-----

[inviteea028771]

On peut déjà remarquer qu'en fait (il suffit de calculer a, a² et a^3)

Alors si









Et ceci appartient bien à K (il faudrait développer et regrouper le termes pour le faire apparaitre proprement)

[0577]

Bonjour,

soit a dans K non-nul. K est un Q-espace vectoriel de dimension finie : la famille infinie
1,a, a^2, a^3... est donc liee ce qui signifie qu'il existe un polynome non-nul P
a coefficients dans Q tel que P(a)=0. Considerons un tel P de degre minimal.
On peut supposer P unitaire et ecrire :

P etant de degre minimal, le terme constant a_{0} est non-nul,
sinon on pourrait simplifier par x et obtenir un polynome Q non-nul
a coefficients rationnels tel que Q(a)=0
avec Q de degre strictement inferieur au degre de P.
Mais maintenant P(a)=0
implique que
est un inverse de a.

Cet argument montre que toute algebre integre finie sur un corps est un corps.

[0577]

probleme de notation : mon a n'est pas le a de la question de depart mais bien un element non nul quelconque de K ...

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteaf1870ed]

J'ai surement loupé un truc, mais si a⁴-10a²+1=0, alors 1=a(10a-a³) et on a l'inverse sans coup férir.

C'est essentiellement l'application de la méthode théorique exposée ci dessus, mais en Kholle on a parfois besoin d'aller au plus rapide

[0577]

Bonjour,

a ericcc : la question n'est pas de montrer que a est inversible mais que K est un corps
i.e que tout element non nul de K est inversible.

[inviteaf1870ed]

Pardon j'avais zappé

[invite46e41aed]

On peut déjà remarquer qu'en fait (il suffit de calculer a, a² et a^3)

Alors si









Et ceci appartient bien à K (il faudrait développer et regrouper le termes pour le faire apparaitre proprement)

Merci pour ta méthode calculatoire, mais comment montrer que () est libre? (c'est pas demandé mais ça m'intrigue quand même )

Bonjour,

soit a dans K non-nul. K est un Q-espace vectoriel de dimension finie : la famille infinie
1,a, a^2, a^3... est donc liee ce qui signifie qu'il existe un polynome non-nul P
a coefficients dans Q tel que P(a)=0. Considerons un tel P de degre minimal.
On peut supposer P unitaire et ecrire :

P etant de degre minimal, le terme constant a_{0} est non-nul,
sinon on pourrait simplifier par x et obtenir un polynome Q non-nul
a coefficients rationnels tel que Q(a)=0
avec Q de degre strictement inferieur au degre de P.
Mais maintenant P(a)=0
implique que
est un inverse de a.

Cet argument montre que toute algebre integre finie sur un corps est un corps.

Merci j'ai beaucoup aimé l'esprit de ta démo ! Bonne soirée

[gg0]

Bonsoir.

comment montrer que () est libre?

Il est plus simple de montrer que c'est générateur (de 1, a, a², a³), après avoir montré que ce sont bien des éléments de K (assez simple).

Cordialement.