Laplacien de r --> 1/r dans l'espace des distributions sur R^3

[invite4ef47b18]

Bonjour tout le monde

Je travaille sur un exercice sur la théorie des distributions, je dois calculer le laplacien de la fonction (x,y) --> (1/sqrt(x^2+y^2+z^2)) dans D'(R^3)
sachant que j'ai déjà montré que cette fonction est harmonique sur R^3\{0} (au sens des fonctions)

Je prend donc une fonction test et je commence à calculer <delta 1/r , phi> en utilisant la formule de green et le résultat précédent

Je trouve alors l'intégrale sur {r>epsilon} de (1/r * delta phi) dV = l'intégrale sur {r=epsilon} de [ (1/r) * ∂ϕ/∂r + ϕ * (1/r^2) ]

Mais là je ne vois pas ce que je pourrais faire !
Et j'ai encore à faire la même chose pour la fonction r --> ln(1/r) dans D'(R^2)
Merci d'avance.
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[invite76543456789]

Salut!
Je comprends pas bien ce que tu ecris, a priori tu as raison il faut faire un tel découpage, mais ton intégrale sur r>epsilon va etre nulle.
Il te reste a calcul l'integrale sur le disque de rayon epsilon, puis grace à la formule de stokes tu trouves qqch qui ressemble a ton second membre. Regarde ce que vaut ton second membre pour une fonction constante, puis pour une fonction nulle en 0, puis essaie de te ramener à ces cas là.

[invite4ef47b18]

l'intégrale sur r>epsilon ne peut pas être nulle, elle est égale au crochet laplacien(1/r) appliquée à phi qui doit donner -4π.dirac
seulement je n'arrive pas à le prouver !

[invite76543456789]

Bien sur que si elle est nulle, puisque le laplacien de 1/r est nul sur R^3 privé de 0!

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite4ef47b18]

Le laplacien de r --> 1/r vaut 0 sur R^3 privé de 0 au sens des fonctions
Là j'essaye de calculer ce laplacien au sens des distributions, et l'intégrale sur r>epsilon doit donner 4π.dirac comme j'ai déjà dit!

[invite76543456789]

Non, le laplacien sur R^3 privé de 0 est une fonction sur cet ouvert, donc que tu calcule au sens des dsitributions ou au sens des fonctions sur un ouvert inclus dans R^3 privé de 0 ne va rien changer (pour tout fonction test f à support inclus dans R^3 privé de 0, <D(1/r),f>=0; je note D le lapalcien).
Ce qui est non nul c'est la distribution D(1/r) appliqué sur R^3 tout entier, mais justement tu coupe ton intégrale pour calculer séparement sur le disque de centre 0 et de rayon epsilon, et hors de celui ci. Hors de celui ci, ton intégrale s'annule, il reste a traiter le cas de l'intégrale sur le petit disque, que tu calcule par la formule de stokes ou des sauts.
L'intégrale sur un compact de R^3 privé de 0 de D(1/r)f vaut nécéssairement 0, puisque D(1/r) est... nulle sur R^3 privé de 0 (dit autrement le support de D(1/r) est {0}, ce qui explique aussi que ce soit un dirac (car elle est bien d'ordre fini)).

[invite76543456789]

Errata: dans la premiere ligne, c'est le laplacien de 1/r qu'il faut lire (dans le laplacien (de 1/r) est une fonction sur R^3 privé de 0 donc que tu le calcules au sens des...)

[invite4ef47b18]

Je suis d'accord avec toi, en fait si je calcule l'intégrale sur r>epsilon c'est pour faire tendre epsilon vers 0 par la suite, et donc tomber sur -4π dirac.
la formule de stockes me permet de montrer que cette limite vaut la limite de l'intégrale sur {r=epsilon} de [ (1/r) * ∂ϕ/∂r + ϕ * (1/r^2) ]
et là je dois montrer que cette intégrale est de l'ordre de -4π dirac quand epsilon tend vers 0.

[invite76543456789]

Mais enfin comment veux tu que alors que dans cette écriture phi(0) peut ne meme pas avoir de sens, et que cette intégrale c'est .
C'est l'intégrale sur le petit disque qui vaut 4pi.phi(0) et c'est cela que tu prouves à l'aide de la formule de Stokes.

[invite4ef47b18]

Mais justement ce n'est pas cette intégrale qui vaut 4π phi(0) c'est sa limite quand epsilon tend vers 0, ce qui donne en fait l'intégrale sur l'espace tout entier,qui est égale aussi à l'intégrale sur la boule de centre 0 et de rayon epsilon!
et moi j'ai besoin de prouver que cette limite vaut 4π phi(0) en utilisant la formule de stockes, ce qui revient à montrer que l'intégrale sur la boule de centre 0 et de rayon epsilon vaut 4π phi(0).

[gg0]

erreur !

Désolé

[invite4ef47b18]

De quelle erreur tu parles ?
Je ne comprends pas vraiment beaucoup là!

[gg0]

De la mienne,

j'avais mal interprété ton message précédent.

[invite76543456789]

Ok, en fait on dit (plus ou moins) la meme chose. Ben du coup tu as quasi terminé, il ne te reste plus qu'a calculer l'aire de la sphere S de rayon epsilon, que tu connais normalement, et du coup , qui est majoré (en valeur absolu) par le sup de 4\pi |\phi-\phi(0)| sur la boule de rayon epsilon, qui tend bien vers 0.
Reste le terme que tu majoré par une constante fois epsilon (la constante c'est le sup de d\phi/dr fois 4pi), et ca tend donc vers 0 qund epsilon tend vers 0, et tu as fini.

[Jess921]

Bonjour,

Pouvez-vous préciser la formule de Green (ou de Stokes) générale utilisée ici car en utilisant les formules que je trouve en tapant sur Google, théorème de Green, je ne vois pas d'où vient l'expression de l'intégrale sur le disque de centre 0 et de rayon epsilon?? Moi je trouve des formules flux-divergence ...

Merci d'avance

[albanxiii]

Bonjour,

Je pense que vous cherchez ceci : http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A...A8me_de_Stokes

@+

[soukaina33]

Bonjour,
est ce possible de me donner la correction de cet exercice?j'en ai vraiment besoin..

[gg0]

Lire ici : http://forums.futura-sciences.com/ma...ces-forum.html