Distance d'un point à une droite

[invite9c5f7482]

Bonjour on m'a donné cet exercice :
(O,i,j,k) est un repère orthonormé de l'espace.
On considère un point A et une droite D définie par l'un de ses points B et par un vecteur directeur u.
Montrer que la distance de A à D est AH= ||AB*u||/ ||u ||
Indication: On pourra raisonner sur l'aire d'un triangle bien choisi
2)calculé par ce procédé la distance de A à D avec:
A(2,2,1) B(4,2,0) et u(-2,3,1).
j'ai essayé de faire cet exercice mais bon je n'ai pas trop compris comment calculé AH même après avoir vu le corrigé,le corrigé c'est:
On sait que Aire(ABC)=1/2*||AB^AC||(ça je le sais il n'y a rien a comprendre)<=>AH*||u||= ||AB^(AB+BC)||=>AH= ||AB^u|| / ||u|| ensuite AH= (3*√5)/√14.

Mais je ne vois pas du tout pourquoi il a écris "AH*||u||= ||AB^(AB+BC)||" AB+BC =AC mais bon.
Je tient a précisé que AB,BC u sont des vecteur. et j'ai calculer AB^u =(3,0,6).
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[gg0]

Bonjour.

Comme tu ne nous dit pas ce qu'est ce point C ...

Mais l'aire d'un triangle est base x hauteur/2, et la distance cherchée pourrait bien être une hauteur, non ?

[invite9c5f7482]

Oui ça pourait être une hauteur,la hauteur ça ne serai pas AH par hasard? le point C c'est le point tel que le vecteur u= vecteur BC. Donc C et B sont sur la droite D.

[gg0]

Bon, tu as trouvé, c'est bon ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite9c5f7482]

Non mais je finirais par trouvé ne vous inquiété pas les maths c'est une passion tout comme la physique.

[invited3a27037]

bonsoir

L'aire d'un triangle dont deux cotés sont portés par les vecteurs (Problème latex: je n'arrive pas à avoir la norme avec la double barre ... normalement c'est \|, ça ne marche pas sur ce forum)

[invite9c5f7482]

Bonsoir,pour la double barre je ne sais pas trop ,mais l'aire c'est bien ça oui.

[invite9c5f7482]

Je crois que j'ai compris un peu enfaîte Aire(ABC)=1/2*||AB^AC|| mais nous n'avons pas le vecteur AC donc on utilise le vecteur BC et la distance AH= a la distance AB(ça s'écrit comme ça je crois "AH= ||BC|| et ||BC| c'est la base du triangle,AH c'est la hauteur donc 1/2*||AB^AC||=1/2*AH*||u|| avec vecteur BC=vecteur U mais ce qui me gêne c'est "AH*||u||= ||AB^(AB+BC)|| donc ça voudrais dire que AB^AB=0

[gg0]

donc 1/2*||AB^AC||=1/2*AH*||u|| avec vecteur BC=vecteur U mais ce qui me gêne c'est "AH*||u||= ||AB^(AB+BC)||

Ben ... c'est la même égalité au 1/2 près !!!!!

donc ça voudrais dire que AB^AB=0

Pourquoi dis-tu ça ? Je ne vois aps le rapport avec ce qui précède...
Mais le produit vectoriel d'un vecteur par lui même donne bien le vecteur nul; ne le sais-tu pas ????

[invite9c5f7482]

Je n'y avais pas pensé et je n'ai jamais eu a calculé ce produit vectoriel mais c'est logique que ça donne 0,et j'ai dis ça parce que je n'avais pas compris pourquoi mon prof avait écri"(AB+BC)"