Démonstration par récurrence

[invite309384ab]

Bonjour ,

Je bloque dans cet exercice

Montrer par récurrence que



J'ai commencé par l'initialisation, elle est vraie pour n =24 (a=3,b=7)
ensuite je ne sais pas quoi faire , on suppose que la proposition est vraie pour n et je ne sais pas comment la démontrer pour n+1.

Merci
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[invite4bf147f6]

Bonjour,

l'initialisation ne marche pas 3*5+7*7=15+49=64
2*5+2*7=10+14=24

[invite4bf147f6]

démarrons la récurrence pour n=25,
n=5*5+0*7 initialisation
soit n>=25 supposons l'existence de a, b entier positif n=5*a+7*b
remarquons que si a<=2 et b<=2 alors n<=24
donc a ou b est strictement supérieur à 2
si b>=2
posons a'=a+3>=0 et b'=b-2 >=0 et 5*a'+7*b'=n+1
sinon b<2 donc a>2
si l'on suppose un instant que a<4 alors a=3 donc 5*a+7*b=15+7*b<=22 absurde
donc nécessairement a>=4
posons a'=a-4>=0 et b'=b+3 >=0 et 5*a'+7*b'=n+1