Exercice sur les suites : niveau MP*

[Salamalec]

Salut, j'ai un exercice sur les suites donné sur une planche d'éxo sur lequel je sèche.
On nous donne U(0) appartient à [1;2], U(n+1) = 1 + U(n) -1/2* U(n)².
1. Trouver L = lim U(n).
2. Montrer que, pour tout n naturel, | U(n) - L | <= 2^(-n).

Pour le 1., j'ai réussis à partir d'une étude de U(2n) et U(2n+1) à montrer que U(n) tend vers sqrt(2). Par contre je sèche pour le 2.. J'ai tenté une récurrence qui ne donne rien... J'ai montrer que pour tout n, U(n) appartient à [1;2], j'ai chercher à montrer que f(x) = 1 + x - 1/2 * x² est contractante sur [1;2] ce qui n'est pas (je trouve un coeff de Liep égal à 1) ... Donc voilà , je vois vraiment pas j'ai plus d'idée...
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[Jedoniuor]

Bonsoir,

Reprenez vos idées (qui sont bonnes) en utilisant la remarque suivante: Il est vrai que $f$ n'est pas contractante sur I=[1,2], mais que se passe-t-il sur l'image J de $I$ par $f$ ?

Cordialement.

[Salamalec]

Oui, je venais d'avoir cette idée je comptais l'essayer après le match de l'om Voilà, je vous tiens au courant merci

[pseudoarallonge]

Bonjour,
Par recurrence, cette question est plutot sympa à résoudre.

Il faut voir que U(n+1)-L=U(n+1)-U(n)+U(n)-L

que |U(n+1)-L|<= |U(n+1)-U(n)|+|U(n)-L|

que U(n+1) -U(n) est donné par l'énoncé du problem

que |U(n)-L| est donné par l'hypothèse de recurrence

que 2^(-n-1)=2^(-n)*1/2

[A voir en vidéo sur Futura]

[pseudoarallonge]

Pour la question 1, je ne sais pas trop ce que vous avez fait, mais la limite se trouve facilement :
l=1+l-1/2*l^2
l=sqrt(2) : ce que vous avez réussi à trouver

[pseudoarallonge]

Encore une petite astuce pour mener la démonstration





Or ...;

[PlaneteF]

Pour la question 1, je ne sais pas trop ce que vous avez fait, mais la limite se trouve facilement :
l=1+l-1/2*l^2
l=sqrt(2) : ce que vous avez réussi à trouver

... ou aussi , et à ce stade il n'y a rien qui permet d'exclure cette valeur sans justification.

Par ailleurs ces 2 valeurs de donnent les 2 limites possibles en cas de convergence, encore faut-il démontrer que la suite converge, ce qui est à faire !


Cordialement

[pseudoarallonge]

On peut dire que cette suite va au moins aussi "vite" que la flèche de Zenon

[PlaneteF]

On peut dire que cette suite va au moins aussi "vite" que la flèche de Zenon

Une flèche un peu particulière au comportement "quantique", qui s'approche de sa cible un coup par la droite, un coup par la gauche, par une sorte d' "effet tunnel" !