Suites adjacentes niveau L1

[invite6a7988bf]

Bonjour

Aidez moi par pitié , je suis sur cet exercice depuis des heures. Je suis sûr que certains vont en rire de facilité :

Soit les suites u_n et v_n avec n appartenant à N (entier naturel) telles que :

Quel que soit n appartenant à N, u_n = 2^n * tan (O/2^n)
et v_n = 2^n * sin (O/2^n) avec O appartenant à ]0,Pi/2[.

Montrer que les suites u_n et v_n sont adjacentes.

En réalité il s'agit d'un exercice de révision qu'on m'a donné en début de deuxième année. Prouver que u_n - v_n tend vers 0 est simple, par contre je n'arrive pas à prouver qu'une des suites est croissante et l'autre décoissante ...

Merci de votre attention !
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[invite35452583]

Pour un pose t=tan(O/2^(n+1))
tan(O/2^n)=tan(2x(O/2^(n+1)))=2t(1-t²)
On a u(n+1)-un=2^n (2t-2t(1-t²) ... donc un décroissante.
Pour vn mettre 2^nsin(O/2^(n+1)) en facteur, en utilisant sin(O/2^n)=2sin(O/2^(n+1)cos(O/(2^(n+1))).
pour en déduire que n est croissante.

[rajamia]

bonjour
pour un = 2^n * tan (O/2^n) essaie d'utiliserla relation tan (2o)=2tan(o)/(1-tan^2(o)) tu vas trouver une relation entre u(n) et u(n+1) essaie de conclure apré la croissance,
bonne chance

[invite6a7988bf]

Merci beaucoup à tous les deux, la réponse a été très rapide. Je croyais avoir tout essayé la nuit dernière. J'ai cherché au moins pendant 4 heures. C'est frustrant car il suffisait d'utiliser la trigonométrie de base i.e. sin (2A) = 2sinAcosA et tan2A = 2t/(1-t^2) avec t=tanA ...

Ha j'ai honte ! Merci beaucoup !!!

[A voir en vidéo sur Futura]