[contre-exemple] exercice topologie

[invitead85c454]

Bonsoir à tous. J'ai un exercice sur lequel je travaille depuis plus d'une heure, et je ne trouve pas de réponses ...
Soit E un EVN, et A et B deux parties de E. 1.Montrer que adh(A) + adh(B) inclut dans adh(A+B).
2. Montrer que l'autre inclusion est fausse.

J'arrive à démontrer le 1. sans problème avec les suites, mais je bloque pour trouver un contre-exemple. Déjà j'ai mit au clair que l'élément que je devrais exhiber n'appartient pas à adh(A) ni à adh(B), car alors il appartiendrait à la somme des adhérences. Sinon j'avance pas trop car je n'arrive jamais à me visualiser la somme de deux ensembles...
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[invite8133ced9]

L'énoncé veut dire "montrer que l'autre inclusion est fausse en général", c'est-à-dire "montrer qu'il existe un evn et deux parties de cet evn dont l'adhérence de la somme n'est pas incluse dans la somme des adhérences".

Bref on ne te demande pas pour tout couple de parties de trouver un élément dans adh(A+B) qui n'est pas dans adh(A) + adh(B) car ces ensembles sont parfois égaux.

Tu peux commencer par des objets simples: evn de dim 1, des singletons et des intervalles...
(sinon par définition la somme d'un ensemble et de l'ensemble vide est l'ensemble vide du coup ça fournit un contre exemple "particulier")

[invitead85c454]

Salut. Oui j'ai bien compris que c'est de le cas general. Mais j'essaye de raisonner dans E = R car c 'est plus simple pour me visualiser les limites. Mais je n'arrive pas a trouver de contre exemples (deux parties de E ...). Par contre la somme d'un ensemble et de l'ensemble vide n'est pas l'ensemble vide...

[invite8133ced9]

Nous connaissons peut-être des définitions différentes de ce qu'est la somme de parties d'espace vectoriel.
Celle que je connais est , ou si tu veux, c'est l'ensemble défini par .
Ce qui fait que si ou est vide, est vide, donc est vide.

Bon cela dit ce n'est pas un contre exemple donc ça ne sert à rien; et je ne vois pas de contre exemple simple en fait. Mes indications à la con sont probablement des indications à la con

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite14e03d2a]

Salut, tu peux chercher treeeeeeeeeeeeees longtemps dans R^n puisque dans un espace vectoriel norme, tous les sous-espaces de dimension finis sont fermes. Regarde du cote des evn de dimension infinie.

Cordialement

[Seirios]

Un contre-exemple simple : soient l'épigraphe de la fonction exponentielle, ie. , et .

Alors et sont fermés, et .

[invite8133ced9]

Ah, malin! L'égalité serait-elle vraie en dimension 1?

[Seirios]

Non plus : et sont deux sous-groupes fermés de et en est un sous-groupe propre dense.

[invite8133ced9]

En effet, merci!

[invite14e03d2a]

Salut, tu peux chercher treeeeeeeeeeeeees longtemps dans R^n puisque dans un espace vectoriel norme, tous les sous-espaces de dimension finis sont fermes. Regarde du cote des evn de dimension infinie.

Cordialement

J'avais lu que A et B devaient etre des sev . Oubliez mon message.