relation de récurrence et intégrales
Bonjour, j'aurais besoin d'aide pour un dm de maths svp, j'aimerais savoir par où commencer à chercher parce que je suis vraiment perdue.
L'énoncé de l'exercice est le suivant :
Déterminer une relation de récurrence puis calculer les intégrales suivantes :
1- intégrale de (tan x)^n de 0 à pi/4
2-intégrale de x^(p-1)*(1-x)^(q-1) de 0 à 1
Avec n un entier naturel et p et q des entiers naturels non nuls
Bonjour.
On te demande de trouver des relations de récurrence, donc entre intégrales.
Par exemple pourtu peux essayer de te ramener à In-1 ou In-2. Rappel : La dérivée de tan est 1+tan². Ce qui fait qu'on connaît une primitive de tan²(x); et ça fait penser à l'intégration par parties.
A toi de faire ...
Bonjour, merci d'avoir répondu.
J'ai trouvé la première intégrale, mais pour la deuxième, je ne sais pas si c'est vraiment une relation de récurrence et si le résultat est bon.
J'ai trouver :
Intégrale de 0 à 1 de x^(p-1)*(1-x)^(q-1) = (1/p)-(1/p+q-1)
Est ce que vous pourriez me dire si c'est bon ou sinon, ou j.ai faux ?
Merci
Vérifie pour des valeurs simples de p et q (genre p=q=1). Ce que tu écris est manifestement faux (c'est généralement négatif : (1/p)-(1/p+q-1) = 1/p-1/p -q+1 = 1-q ).
Ne serait-ce pas plutôt 1/p-1/(p+q-1) que tu voulais dire ? les règles de priorité des opérations s'apprennent au début du collège, il n'est pas acceptable de mettre des parenthèses au hasard (pourquoi des parenthèses autour de 1/p ????).
Une remarque encore : le changement de variable t=1-x montre que p et q jouent des rôles symétriques.
Cordialement.
Ah d'accord merci, je n'ai pas pensé à faire un chargement de variable.
J'ai fait une intégration par partie. Je vais refaire le calcul.
En fait, je n.a pas compris en quoi le fait que p et q jouent des rôles symétriques aide pour le calcul de l'intégrale
Je n'ai jamais parlé du calcul de l'intégrale.
Cependant, si on appelle Ip,q l'intégrale, le fait que Ip,q=Iq,p permet de ne chercher que les cas où
A priori, j'aurais fait une intégration par parties, puis une récurrence donnée par cette méthode. Si mes souvenirs sont bons, ça marche bien ! Oui, j'ai vérifié.
Quelle relation entre les Ip,q as-tu trouvée ?
Bah justement je n'en trouve pas, je crois que j'ai la mauvaise méthode.
J'ai chercher à calculer l'intégrale en écrivant que x^(p-1)*(1-x)^(q-1)=x^(p-1)-x^(p+q-2), du coup je n'ai fait q'une intégration par parties sur ke second membre et je trouve ce sa fait 1/(p+q-1) (intégrale de x^(p+q-2))
Pour une intégration par partie, il te faut un produit : Tu l'avais; il te faut un des facteurs facile à intégrer : Les deux le sont. Pourquoi chercher ailleurs ?
Allez, au travail.
NB : x^(p-1)*(1-x)^(q-1)=x^(p-1)-x^(p+q-2) est une énormité, qu'on n'accepterait pas d'un élève de seconde !! Tu n'as jamais appris les règles de priorité des opérations ? On voit ça entre 10 et 13 ans.
Ah oui c'est vrai =-O désolé j'ai complètement oublier la puissance, c'est pardonnable.
Merci
Eh je voulais dire impardonnable
Bonjour,
j'ai essayer de faire la relation de récurrence mais e ne trouve toujours pas!
elle n'est pas bonne, ça ne marche pas en prenant des valeurs simples de p et q.
je suis bloquer, je ne sais plus quoi faire, aider moi svp!!
Je ne peux pas t'aider, tu ne donnes pas tes calculs ...
Ah oui dsl.
J'ai fait deux intégrations pas parties, dans la première
J'ai poser f'=(1-x)^(q-1) et f=-(q-1)(1-x)^q
g=x^(p-1) et f'=(p-1)x^(p-2)
Et donc B(p,q) = -(q-1)[x^(p-1)*(1-x)^q]+(q-1)(p-1)int (1-x)^q*x^(p-2)
J'ai fait une seconde IPP sur B'=Int(1-x)^q*x^(p-2) avec
f'=(1-x)^q et f= (-1/(q+1))*(1-x)^(q+1)
g=x^(p-2) et g'=(p-2)x^(p-3)
Donc B'=(-1/(q+1))[x^(p-2)(1-x)^(q+1)]+((p-2)/(q+1))int x^(p-3)*(1-x)^(q+1)
Et finalement, j'ai trouver que
B(p,q)=-(q-1)[x^(p-1)(1-x)^q]-((p-1)(q-1)/(q+1))[x^(p-2)(1-x)^(q+1)]+((p-2)(p-1)(q-1)/(q+1))B(p-2,q+2) mais je ne sais pas si je peut écrire ça
Quelle complication !
Une seule intégration par parties, mais faite sérieusement; donne un résultat utile :
le plus simple est d'intégrer xp-1 dont une primitive est facile, donc de poser (j'utilise tes notations) :
Et en terminant le calcul, on trouve que B(p,q) s'exprime en fonction de B(p+1,q-1), ce qui permet une récurrence.
Attention : " f'=(1-x)^(q-1) et f=-(q-1)(1-x)^q" est faux !! la dérivée de -(q-1)(1-x)^q est q(q-1)(1-x)^(q-1).
Allez, un petit effort pour bien appliquer les règles de calcul !!
Ah oui merci
