Limite n |cn| cn coefficients de fourier d'une fonction f

[invitef02426d6]

Bonjour,
Il y a une sorte d'exercice que je vois souvent revenir dans mon cours
Soit f une fonction dérivable continûment deux fois sur un
cercle, et cn, n E Z, ses coefficients de Fourier dans la base d'exponentielles complexes. La limite

lim n lcnl n-> infini

existe-t-elle?

Si la fonction est continûment dérivable deux fois, ça veut dire qu'elle converge uniformément.
J'aimerais bien qu'on m'explique ce que représente cette limite et si on peut prouver son existence ou non-existence comment le fait-on?
Merci
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[gg0]

Quels sont les coefficients de la dérivée ?

Cordialement.

[inviteea028771]

Il y a un résultat classique de dualité entre la régularité de la fonction et la décroissance de ses coefficients de Fourier.

Si f est de classe C^k, alors ses coefficients de Fourier sont en o(1/n^k). Ça se montre en intégrant par partie, de façon à exprimer les coefficients de Fourier de f par rapport à ceux de f'' (qui est continue, donc ses coefficients tendent vers 0)

[invitef02426d6]

Donc si j'ai bien compris
Pour la dérivée seconde on a que
C"n= i²*n² Cn
|Cn|= |C"n|/n²
lim n |Cn| = lim n |C"n|/n² = lim |C"n|/n quand n ->oo lim = 0

Merci

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteea028771]

Donc si j'ai bien compris
Pour la dérivée seconde on a que
C"n= i²*n² Cn
|Cn|= |C"n|/n²
lim n |Cn| = lim n |C"n|/n² = lim |C"n|/n quand n ->oo lim = 0

Merci

C'est ça.

[invitef02426d6]

Merci à vous !