Tribu de Borel et engendrement

[invite5ffffaa4]

Bonjour,

Pourriez me donner des éléments de réponse:

Dans un exercice dont j'ai le corrigé, on demande de montrer que la tribu de Borel de R-barre(droite achevée) B(R-barre)
est engendré par les intervalles [-oo,a], a appartenant à R.

Autrement dit montrer que B(R-barre)=sigma([-oo,a])

L'inclusion réciproque est évidente.
Ce qui me pose problème c'est l'inclusion directe B(R-barre) inclus dans sigma([-oo,a]).

Je ne comprend pas pourquoi, d'après le corrigé, il suffit de montrer que:

1. {-oo} € sigma([-oo,a])
2. {+oo} € sigma([-oo,a])
3. quelque soit c et d de R,, l'intervalle ouvert ]c,d[ € sigma([-oo,a])

Merci d'avance.
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[inviteea028771]

Cela vient du fait que tout ouvert de R peut s'écrire comme une union dénombrable d'intervalles. Donc si tu as tous les intervalles, tu as tout les ouverts, donc tu es plus gros que la tribu de Borel (le fait que ce soit R-barre ne complique pas vraiment les choses).