Tribu de Borel

[invite3d8fdb13]

Bonjour à tous,
Je voudrais tout simplement comprendre ce qu'est une "tribu borélienne" avec un exemple concret.
J'ai cherché partout sur internet et je trouve la définition suivante:
"La tribu borélienne d’un espace topologique T est la plus petite σ-algèbre sur T contenant tous les ensembles ouverts".
Ok, j'ai réussi à compredre la définition d'espace toplogique et de σ-algèbre, mais c'est quoi "les ouverts"?
Je ne suis pas française, et dans mon pays j'ai appris la théorie des probabilités (même j'ai bien aimé). Mais on n'a jamais parlé de "Tribus", "mesure de Lebesgue", etc. Ici tous les profs en parlent et j'ai besoin de comprendre ces concepts, s'il vous plaît
Merci d'avance.
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[invite986312212]

bonjour,

donc tu as vu la définition d'un espace topologique, mais pas celle d'un ouvert? tu m'étonnes.

ces définitions sont ici : http://fr.wikipedia.org/wiki/Espace_topologique

il faut les lire un peu attentivement )

ensuite, si tu as vu la définition d'un tribu, un peu de réflexion te montrera que l'intersection d'un ensemble de tribus est encore une tribu. L'ensemble des parties de E est une tribu, et elle contient l'ensemble des ouverts (la topologie) de E. Donc l'ensemble des tribus contenant la topologie n'est pas vide. La tribu borélienne est l'intersection de cet ensemble. C'est la plus petite tribu contenant les ouverts.

ah au fait: tribu et sigma-algèbre sont des synonymes

[invite3d8fdb13]

Merci Ambracio. En fait, peux tu me donner un exemple concret s'il te plaît? Par exemple sur l'ensemble E {{1},{2},{3},{4},{5},{6}}c'est quoi la tribu borelénne.
Merci d'avance.

[invite986312212]

salut,

ta notation n'est pas très claire, est-ce que tu parles de l'ensemble E={1,2,3,4,5,6} ?

en tout état de cause, sur un ensemble fini, on ne parle pas de tribu borélienne. On le pourrait, mais il faudrait d'abord choisir une topologie sur E (il y a plusieurs choix possibles). En fait ce terme de tribu borélienne est plutôt réservé au cas où E est R ou C ou un espace vectoriel topologique ou normé. Et implicitement on suppose que la topologie est la topologie usuelle sur ces ensembles, celle engendrée par les intervalles ouverts sur R, par les disques ouverts sur C ou les boules ouvertes sur les e.v.n.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite3d8fdb13]

Merci encore Ambrosio.
Et oui je parlais de l'ensemble E={1,2,3,4,5,6}.
En supposant E=R, le nombre d'intervalles ouverts est infini: Je peux définie par exemple les intervalles: ]-oo,1[, ]1, 40[, ]40,oo[, je peux définir ce que je vais. C'est correct?
Concernant le site web que tu m'as donné pour comprende "ouverts" C'est que j'ai pu voir c'est que les ouverts sont les parties d'un ensemble. Dans ce cas là, tous les sous ensembles possibles de E sont des ouverts (et leur complément sont les fermés)? Et si la tribu borélienne est la plus petite qui contient tous les ouverts, alors c'est quoi la différence entre la tribu borélienne et "the power set" (Ensemble des parties d'un ensemble)?
Merci en avance pour le temps consacré!

[invite986312212]

Concernant le site web que tu m'as donné pour comprende "ouverts" C'est que j'ai pu voir c'est que les ouverts sont les parties d'un ensemble.

non, en général les ouverts sont des parties de E, mais pas toutes! par exemple sur R on définit usuellement les ouverts comme toutes les réunions d'intervalles ouverts. Ca fait beaucoup de monde, mais pas toutes les parties de R. {0} par exemple n'est pas une réunion d'intervalles ouverts, [0,1] non plus.