Analyse, Suites

[invite911f37de]

Bonjour,
je rencontre des difficultés sur un exercice.

Voici l'énoncé :

1) x un réel . La suite Un = x/n converge-t-elle ? Si oui, donner sa limite.
J'ai dit que la suite converge vers 0 lorsque n +

b)Montrer alors qu'il existe un entier naturel N tq x/n>-1 et -x/n> -1 avec n>=N. J'ai réussi cette question.

2)Soit Un=(1+x/n)n et Vn=nln(1+x/n) avec n >= N.
a)Exprimer Un en fonction de Vn. J'ai mis Un=exp(Vn).

b)Majorez Vn et en déduire une majoration de Un. Je ne vois pas par quoi je pourrai majorer la suite.

c)Démontrer l'inégalité : exp(x) <= (1-x/n)^-n. J'ai essayé d'étudier la fonction
exp(x)-(1-x/n)^-n mais je n'arrive pas à la dériver.

Merci d'avance.
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[invite427a7819]

Salut,

Pour la dérivation, passe par la forme en exp(-n*ln(chose)), ça devrait bien se passer.

Pour la majoration de Vn, ne connais-tu pas une majoration classique de ln(1+a) (pour tout a réel, strictement supérieur à -1) ? Si non, essaie de tracer ça sur une calculatrice, ça devrait te donner une bonne idée de la majoration à montrer, puis à utiliser.

[invite911f37de]

Merci de m'avoir répondu.

Je sais que ln(1+x)<=x et je dirai que nln(1+x/n)<=x mais je ne vois pas comment passer de la 1ere inégalité à la deuxième? Dois-je étudier la fonction nln(1+x/n)-x ?

[inviteea028771]

Dois-je étudier la fonction nln(1+x/n)-x ?

Non, c'est beaucoup plus simple, il suffit de considérer ta première inégalité avec x/n au lieu de x

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite911f37de]

Ah d'accord merci.
Et pour l'inégalité exp(x) <= (1-x/n)^-n je transforme (1-x/n)^-n en exp(-nln(1-x/n) ?