famille libre de vecteurs ?

[inviteec5b5d76]

bonjour a tous !

bon voila , j'ai pas trop compris comment determiner si des vecteurs forment une famille libre
genre (3,-1,2);(2,6,-2);(4,-1,2);(1,3,2) je determine comment si ils forment une famille libre ?

merci
-----

[gg0]

Tu dois avoir une propriété du genre "toute combinaison linéaire nulle a ses coefficients nuls". Tu t'en sers en écrivant une combinaison linéaire avec des coefficients inconnus, dont tu dis qu'elle est nulle :
a(3,-1,2)+b(2,6,-2)+c(4,-1,2)+d(1,3,2) =(0,0,0)
Et tu résous par rapport aux coefficients (ici a, b, c et d sont les inconnues).

Dans ce cas, tes 4 vecteurs forment une famille liée (sont linéairement dépendants), tu ne touveras pas comme seule solution (0,0,0,0). Les théorèmes sur la dimension te feront comprendre pourquoi je dis ça sans avoir fait aucun calcul.

Cordialement.

[PlaneteF]

Bonjour,

Prenons un exemple tout simple, dans R² :

((1,0) , (0,1)) est une famille libre (c'est même la base canonique de R²).

En effet, supposons a(1,0)+b(0,1)=(0,0)

On a donc en détaillant : ax1+bx0 =0 et ax0+bx1=0 donc nécessairement (a,b)=(0,0). Donc la famille est bien libre.


Maintenant prenons la famille ((1,1) , (2,2)) qui n'est évidemment pas libre (les 2 vecteurs sont colinéaires).

Supposons a(1,1)+b(2,2)=(0,0) , on a donc a+2b=0. Ici on voit bien que (a,b) ne vaut pas nécessairement (0,0), par exemple (-2,1) convient tout aussi bien pour annuler la combinaison linéaire initiale (il y a même une infinité de couples qui conviennent).


Cordialement

[inviteec5b5d76]

donc deux vecteurs colineraires ne sont pas libre ? ok je note

par contre :"ax1+bx0 =0 et ax0+bx1=0 "

pourquoi a*1 + b* 0 = 0 ? ca j'avoue ne pas trop voir

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteec5b5d76]

et gg0 , en gros ca revient a me faire resoudre le systeme ax+bx+cx +dx = 0
ay+by+cy+dy = 0
az+bz+cz+dz = 0



c'est ca ?

[gg0]

Bon,

je vois que tu ne comprends pas ce qu'on explique (qui est simplement la propriété que tu as dans ton cours). J'imagine que tu as déja oublié comment on calcule dans (ton exemple du début) ou (l'exemple de PlaneteF). Revois-ca, puis fais les calculs proposés, c'est élémentaire (on faisait ça en seconde, à une époque). Ah! Un rappel :
(a,b)=(c,d) si et seulement si a=c et b=d
Idem pour les triplets.

Bonne réflexion !

[pallas]

libre = indépendants
liés = dependants
revois quand n vecteurs sont libres !

[invitee65b1c3d]

Tu dois avoir une propriété du genre "toute combinaison linéaire nulle a ses coefficients nuls". Tu t'en sers en écrivant une combinaison linéaire avec des coefficients inconnus, dont tu dis qu'elle est nulle :
a(3,-1,2)+b(2,6,-2)+c(4,-1,2)+d(1,3,2) =(0,0,0)
Et tu résous par rapport aux coefficients (ici a, b, c et d sont les inconnues).

Il faut en effet commencer par poser ce système.
Il y a alors plusieurs méthodes :
1) Le résoudre et regarder s'il n'y a que le vecteur nul comme solution (c'est ce que propose gg0)
2) Si vous avez vu le concept de rang, il est possible d'aller plus vite : il suffit de calculer le rang du système pour savoir s'il existe une ou plusieurs solutions. S'il n'existe qu'une seule solution, c'est que la famille est libre, sinon elle est liée.
Le rang se calcule par opérations élémentaires sur les lignes ET les colonnes (on peut mixer les deux, c'est tout l'avantage du rang).