Montrer qu'une famille de vecteurs est libre

[invite3c64d825]

Bonjour, ou plutôt bonsoir,

J'aimerai être éclairé sur un sujet:

pour prouver qu'une famille de vecteurs est libre, je me rappelle avoir lu quelque part qu'il était possible d'écrire la matrice de u dans cette base, et si le déterminant de cette dernière était nul, alors la famille était libre...
Je ne sais pas si c'est juste, pouvez-vous me préciser cette méthode ?

Merci d'avance !
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[physeb]

Bonsoir,

en fait c'est l'inverse. Si une famille est libre alors, le determinant des vecteurs générateurs doit être non nul.

Cela vient du fait que le déterminant est une forme multilinéaire alternée. Tu peux faire des opérations multilinéaires (multipliés des colonnes par des scalaires moyennant une racine n-ième en amont, ainsi que de faire des additions de colonnes). Sont caractère alterné implique que les permutations de colonnes te coutent où p est le nombre de permutations.

Il vient alors que si une colonne peut s'exprimercomme une combinaison linéaire des autres alors, tu peux arriver à écrire ton déterminant avec deux colonnes identiques côte à côte.

Or si tu permutes ces deux colonnes tu as le même déterminant. Or tu as fait une permutation et donc et donc .

Cette méthode n'est valable que si tu as une famille vecteurs avec composantes car il te faut une matrice . Donc si le determinant le déterminant est non nul il vient que cette famille est libre et donc est une base de .

Bonne soirée